Legge esponenziale

Indice

1 Valore di una operazione finanziaria in base alla legge esponenziale

Consideriamo un’operazione finanziaria \(x / t=\left \{x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\right \} /\left \{t_{1}, t_{2}, \ldots , t_{n}\right \}\)

e valutiamo, secondo la legge esponenziale con intensità \(\delta \) assegnata, il valore attuale riferito all’istante \(t=0\) dell’importo generico \(x_{k}\) :

\[ A\left (0, x_{k}\right )=x_{k} \cdot e^{-\delta \cdot t_{k}} \quad k=1,2, \ldots , n \]

Definiamo il valore attuale dell’operazione finanziaria \(x\), la somma dei valori attuali di ogni singolo flusso:

o anche:

\[A(0, x)=\sum _{k=1}^{n} A\left (0, x_{k}\right )=\sum _{k=1}^{n} x_{k} \cdot e^{-\delta \cdot t_{k}} \]

\[ A(0, x)=\sum _{k=1}^{n} x_{k} \cdot (1+i)^{-t_{k}}\]

Considerando un istante generico \(t>0\) possiamo capitalizzare il valore attuale \(A(0, x)\) da 0 a \(t\) mediante il fattore \(e^{\delta t}\) :

\[ M(t, x)=A(0, x) \cdot e^{\delta t}\]

per ottenere il valore, non più attuale ma in \(t\), di \(x\). Sostituendo in quest’ultima uguaglianza la definizione di valore attuale si ottiene:

\[ M(t, x)=\sum _{k=1}^{n} x_{k} \cdot e^{\delta \left (t-t_{k}\right )}=\sum _{k=1}^{n} x_{k} \cdot (1+i)^{t-t_{k}} \]

2 Operazioni eque

Un’operazione finanziaria \(x\) si dice equa al tempo \(t\), conformemente alla legge esponenziale adottata, se \(M(t,x) = 0\). Il significato di equità dipende, quindi, dalla legge esponenziale adottata e, a priori, dall’istante t; intuitivamente possiamo dire che un’operazione non può essere equa se ogni elemento \(x_k\) è positivo o negativo. Deve esistere almeno un importo \(x_k\) che presenta un segno diverso dagli altri importi. A titolo di esempio, costruiamo una operazione equa partendo dall’operazione: \({3 ; 103} / {0,25 ; 0,75}\) secondo la legge esponenziale il cui tasso annuo è \(i=5\%\). Per fare ciò calcoliamo il valore attuale \[A(0,x) = 3 × 1,05^{-0,25} + 103 ×1,05^{-0,75} = 2,9636 + 99,2991 =102,2627\] e “costruiamo” appositamente l’operazione equa: \[{-102,2627 ; 3 ; 103} / {0 ; 0,25 ; 0,75}\] aggiungendo all’operazione data proprio il valore attuale trovato.

3 Proprietà funzionali della legge esponenziale

Invece di considerare una generica legge di capitalizzazione, consideriamo in particolare la legge di capitalizzazione esponenziale. Per essa valgono le seguenti proprietà funzionali:

• Proprietà invariantiva: Se un’operazione finanziaria è equa all’istante t secondo una assegnata legge esponenziale, lo è in qualsiasi altro istante.
• Proprietà additiva: Se due operazioni finanziarie sono eque in un medesimo istante, secondo la stessa legge esponenziale, anche l’operazione finanziaria somma è equa allo stesso istante.
• Proprietà di uniformità nel tempo: Se un’operazione finanziaria è equa all’istante t secondo una assegnata legge esponenziale, l’operazione avente tutte le scadenze traslate di un intervallo di lunghezza t è equa nell’istante t+t conformemente alla stessa legge.
• Proprietà di scindibilità: La somma di due operazioni eque in due istanti diversi secondo una medesima legge esponenziale, è un’operazione equa, secondo la stessa legge, in un qualsiasi istante.

Chiaramente tali proprietà non sono sempre verificate se si cambia legge di capitalizzazione. Commentiamole una per una. La prima proprietà sostanzialmente esprime che l’equità non cambia se cambiamo l’istante t di osservazione. Ciò si dimostra semplicemente riconducendo il valore \(M(t^{\prime },x)\) al prodotto di \(M(t,x)\) (pari a zero) moltiplicato una costante positiva. La seconda proprietà è intuitivamente semplice, e si dimostra sfruttando la proprietà additiva delle sommatorie. La terza proprietà esprime il concetto secondo il quale traslando un’operazione finanziaria, essa rimane equa rispetto alla medesima legge.

3.1 Scindibilità

La quarta proprietà è il risultato combinato della prima e della seconda proprietà, e si può dimostrare che coincide con la seguente proprietà dei fattori di sconto: \[ v\left (t_{0}, t_{2}\right )=v\left (t_{0}, t_{1}\right ) \cdot v\left (t_{1}, t_{2}\right ) \] con \(t_{0}<t_{1}<t_{2}\) Questa è chiamata equazione funzionale della scindibilità. Ricordiamo ora che una legge di capitalizzazione si dice ”scindibile” se il montante ottenuto da un capitale \(C\) all’epoca \(t_{1}+t_{2}\) al tasso \(i\) è uguale al montante ottenuto dallo stesso capitale \(C\) all’epoca \(t_{1}\) al tasso \(i\), capitalizzato ulteriormente fino all’epoca \(t_{2}\).

In generale una legge di capitalizzazione è scindibile se date le 3 epoche \(x, y, z \quad (x<y<z)\) :

\[ r(x, z)=r(x, y) \cdot r(y, z) \] o in maniera equivalente

\[v(x, z)=v(x, y) \cdot v(y, z)\]

Significa che se capitalizzo in un unico tempo o spezzo I’operazione il risultato non cambia. Consideriamo innanzitutto il regime esponenziale e calcoliamo sia il montante \(M\), ottenuto capitalizzando \(C\) per il tempo \(t_{1} \mathrm {e}\) capitalizzando il risultato ancora per il tempo \(t_{2}\), che il montante \(M_{2}\), ottenuto capitalizzando \(C\) per il tempo \(t_{1}+t_{2}\) :

\[ M =C \cdot (1+i)^{t_{1}} \cdot (1+i)^{t_{2}} =C \cdot (1+i)^{t_{1}+t_{2}} \]

\[M_{2}=C \cdot (1+i)^{t_{1}+t_{2}}\]

Perciò \(M=M_{2}\).

Quindi giungiamo ad un importante risultato: la legge di capitalizzazione esponenziale è scindibile.

Consideriamo ora il regime dell’interesse semplice e calcoliamo \(\mathrm {M}\) e \(\mathrm {M}_{2}\).

\(M_{2}=C \cdot \left (1+i \cdot t_{1}\right ) \cdot \left (1+i \cdot t_{2}\right )=C \cdot \left (1+i \cdot t_{1}+i \cdot t_{2}+i^{2} \cdot t_{1} \cdot t_{2}\right )\)

\(M=C \cdot \left [1+i \cdot \left (t_{1}+t_{2}\right )\right ]=C \cdot \left (1+i \cdot t_{1}+i \cdot t_{2}\right )\)

Da cui si ha \(\mathrm {M}_{2}>\mathrm {M}\).

Quindi la legge della capitalizzazione lineare non è scindibile.

La terza proprietà funzionale si esprime anche nel seguente modo:

In conclusione l’unica legge di capitalizzazione uniforme e scindibile è la legge esponenziale. La verifica di ciò è semplice assumendo il fattore di sconto come \(\mathrm {v}(\mathrm {t})=\exp (-\delta \cdot \mathrm {t})\) con la condizione \(\mathrm {v}(0)=1\). Esiste una legge molto forte che lega scindibilità e forza d’interesse.

Teorema per le leggi ad una variabile.

Condizione necessaria e sufficiente affinché una legge di capitalizzazione sia scindibile è che la sua forza d’interesse sia una costante, ossia non dipenda da \(t\).

Interesse semplice \(\quad \delta (t)=\frac {i}{1+i \cdot t}\)

Sconto commerciale \(\quad \delta (t)=\frac {d}{1-d \cdot t}\)

Interesse composto \(\quad \delta (t)=\log (1+i) \quad \) È una costante infatti è scindibile

4 Scomposizione di operazioni finanziarie

Può risultare comodo scomporre un’operazione finanziaria \(\mathbf {x} / \mathbf {t}\) nella somma di due o più operazioni finanziarie più semplici: ad esempio si possono separare gli importi \(x_{k}\) positivi da quelli negativi ed ottenere rispettivamente un’operazione degli incassi \(\mathbf {y} / \mathbf {t}\) ed un’operazione dei pagamenti in senso stretto \(\mathbf {z} / \mathbf {t}\).

Nell’ipotesi in cui la \(\mathbf {x} / \mathbf {t}\) sia equa si dovrà avere:

\[ M(t, y)=-M(t, z) \]

in quanto \(M(t, x)=M(t, y)+M(t, z)=0\).

Ad esempio scomponiamo la

\[ \mathrm {x} / \mathrm {t}=\{-10,577 ; 11 ;-99 ; 102,96\} /\{0 ; 1 ; 2 ; 3\} \]

equa conformemente alla legge esponenziale al tasso annuo \(i=4 \%\). Gli incassi sono rappresentati dal vettore

\[ \mathbf {y} / \mathbf {t}=\{0 ; 11 ; 0 ; 102,96\} /\{0 ; 1 ; 2 ; 3\} \]

mentre i pagamenti sono rappresentati dal vettore

\[ \mathbf {z} / \mathbf {t}=\{-10,577 ; 0 ;-99 ; 0\} /\{0 ; 1 ; 2 ; 3\} \]

Calcoliamo ora i valori in \(t=0\) :

\(A(0, y)=11 \cdot 1,04^{-1}+102,96 \cdot 1,04^{-3}=10,577+91,531=\) 102,108

\(A(0, z)=-10,577-99 \cdot 1,04^{-2}=-10,577-91,531=-102,108\).

Ovviamente, per l’equità ipotizzata, \(A(0, y)=-A(0, z)\).

Un altro modo di scomporre un’operazione finanziaria è considerare gli importi fino ad un istante \(t\) separati da quelli successivi, in modo che:

\[ M(t, x)=M^{\prime }(t, x)+V(t, x) \]

avendo chiamato ”montante in \(t\) dell’operazione” la quantità

\[ M^{\prime }(t, x)=\sum _{k / t_{k}<t} x_{k} \cdot e^{\delta \cdot \left (t-t_{k}\right )} \]

ed avendo chiamato ”valore residuo in t” la quantità

\[ V(t, x)=\sum _{k / t_{k}>t} x_{k} \cdot e^{-\delta \cdot \left (t_{k}-t\right )} \]

Il valore \(M^{\prime }\) è chiaramente la somma dei montanti di tutti gli importi \(x_{k}\) fino a \(t\), in \(t\); così come il valore \(V\) è la somma dei valori attuali in \(t\) degli importi successivi a \(t\).

Nell’ipotesi in cui \(\mathbf {x} / \mathbf {t}\) sia equa, in qualunque istante \(t\) deve essere:

\[ M^{\prime }(t, x)=-V(t, x) \]

Infatti \(M(t, x)=M^{\prime }(t, x)+V(t, x)=0\) e dalla seconda uguaglianza si ottiene la tesi.

4.1 Esempio

Calcoliamo il montante ed il valore residuo in \(t=1\)

dell’operazione finanziaria \(\mathbf {x} / \mathbf {t}=\{-100 ; 2 ; 2 ; 2 ; 102\} /\{0 ; 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2\}\)

valutata secondo la legge esponenziale di intensità \(\delta =0,04\).

\(M^{\prime }(1, x)=-100 e^{0,04*1}+2 e^{0,04*0,5}+2=-104,08108+2,04040+2=-100,04068\)

\(V(1, x)=2 e^{-0,04*0,5}+102 e^{-0,04*1}=1,9604+98,0005=99,9609\)

Osserviamo che il montante non è uguale al valore residuo in \(t=1\), in quanto manca l’ipotesi di equità.

Al contrario, consideriamo l’intensità \(\delta =0,0396\) che rende \(\mathbf {x} / \mathbf {t}\) equa.

Tale intensità corrisponde ad un tasso annuo \(i=0,0404\) oppure ad un tasso semestrale equivalente del \(2 \%\).

Calcoliamo di nuovo \(M^{\prime }\) e \(V\) :

\(M^{\prime }(1, x)=-100 e^{0,0396*1}+2 e^{0,0396*0,5}+2=-104,04+2,04+2=-100\)

\(V(1, x)=2 e^{-0,0396*0,5}+102 e^{-0,0396*1}=1,9608+98,0392=100\)