Indice
1 Interpretazione della Duration
Il valore (prezzo) di un titolo si calcola come somma dei flussi scontati ad un determinato tasso di rendimento. Dato un titolo che garantisce \(\mathrm {n}\) flussi positivi \({ }^{R_{s}}\) il suo prezzo/valore può essere formalmente espresso come
\[ P=V_{R}^{0}=\sum _{s=1}^{n} R_{s} \cdot (1+i)^{-s} \quad P=V_{R}^{0}=\sum _{s=1}^{n} R_{s} \cdot e^{-\delta \cdot s} \]
a seconda se consideriamo la capitalizzazione composta annualmente o quella continua. Il prezzo è chiaramente una funzione del flusso di rate (sia dell’importo che del numero dei singoli cash flow e delle loro scadenze temporali) e del tasso utilizzato.
Per un operatore, una volta acquistato un titolo, il rischio è che varino i tassi dei titoli simili di nuova emissione. Infatti, il prezzo di un’attività finanziaria si muove a causa del mutare del livello dei rendimenti. In caso di rialzo dei tassi il titolo si deprezza, dato che il suo rendimento si deve uniformare a quello dei titoli di nuova emissione. In caso di ribasso dei tassi succede l’esatto opposto. Fondamentale, quindi, ai fini della valutazione della convenienza dell’acquisto di un titolo è la valutazione tramite un indice sintetico dell’ampiezza delle oscillazioni di prezzo che ci si può aspettare in seguito a variazioni dei rendimenti. Per studiare tale caratteristica da un punto di vista matematico ci si serve della derivata della funzione prezzo presa rispetto a variazioni del tasso di rendimento.
\[ \frac {d V(\delta )}{d \delta }=-\sum _{s=1}^{n} s \cdot R_{s} \cdot e^{-\delta \cdot s} \]
che esprime la sensibilità del prezzo a variazioni infinitesime di tasso. Dividendo per \(V(\delta )\) si ottiene l’elasticità della funzione prezzo rispetto al tasso.
\[ \frac {\frac {d V(\delta )}{d \delta }}{V(\delta )}=\frac {-\sum _{s=1}^{n} s \cdot R_{s} \cdot e^{-\delta \cdot s}}{V(\delta )}= \] \[-\frac {\sum _{s=1}^{n} s \cdot R_{s} \cdot e^{-\delta \cdot s}}{\sum _{s=1}^{n} R_{s} \cdot e^{-\delta \cdot s}}=-D_{R}^{0}(\delta ) \]
Come si vede il valore che si ottiene è proprio la Duration (il segno meno sta naturalmente a significare la relazione di segno inverso che c’è tra variazioni di tasso e di prezzo per cui all’aumentare dell’uno decresce l’altro), la quale da questo punto di vista assume il significato di volatilità del prezzo. Quanto maggiore è il valore assunto dalla Duration tanto maggiore è la reattività del prezzo del titolo a variazioni del tasso di rendimento. Titoli con Duration alta vengono quindi considerati titoli rischiosi, perché soggetti a possibili forti oscillazioni di prezzo. Al contrario un titolo con Duration bassa ha un profilo meno rischioso, visto che il suo valore è meno soggetto a variazioni in seguito a variazioni dei tassi di riferimento.
Ricordando lo sviluppo della serie di Taylor è possibile mostrare come la Duration possa essere utilizzata per una stima della variazione subita dal prezzo di un titolo in seguito ad una shift del tasso di interesse che passa da \(\delta _{\mathrm {a}} \delta _{\mathrm {z}}=\delta +\Delta \delta \).
\[ V(\delta +\Delta \delta )=V(\delta )+\frac {d V(\delta )}{d \theta } \cdot \Delta \delta =V(\delta )-D(\delta ) \cdot V(\delta ) \cdot \Delta \delta \]
Da questa si ricava facilmente che la variazione percentuale del prezzo di un titolo è proporzionale alla variazione del tasso (cioè allo shift \(\Delta \delta \) ) ed al valore della sua Duration \(D(\delta )\). Infatti si ha:
\[ \frac {V(\delta +\Delta \delta )-V(\delta )}{V(\delta )} \cong -D(\delta ) \cdot \Delta \delta \]
E’ importante precisare l’ambito di validità di una tale relazione. Questa è applicabile per variazioni del proprio TIR, cioè del tasso di rendimento dei titoli simili di nuova emissione. E’ una misura, quindi, del rischio di prezzo (inteso come variabilità) di un’attività finanziaria non già alle variazioni della struttura dei tassi in generale, ma più restrittivamente alle variazioni del suo tasso di rendimento. Questo è evidente se pensiamo che la Duration come volatilità è ottenuta derivando la funzione prezzo proprio rispetto al TIR.
Passando dal continuo al discreto la volatilità di un titolo non coincide più perfettamente con la sua Duration ma bensì con la Duration modificata. Infatti derivando come in precedenza si
\[ \frac {d V(i)}{d i}=-\sum _{s=1}^{n} s \cdot R_{s} \cdot (1+i)^{-(s+1)}=-\frac {1}{1+i} \cdot \sum _{s=1}^{n} s \cdot R_{s} \cdot (1+i)^{-s} \]
dividendo poi per \(V(i)\) si ottiene l’elasticità:
\[ \frac {\frac {d V(i)}{d i}}{V(i)}=-\frac {1}{1+i} \cdot \frac {\sum _{s=1}^{n} s \cdot R_{s} \cdot (1+i)^{-s}}{V(i)}= \] \[-\frac {1}{1+i} \cdot \frac {\sum _{s=1}^{n} s \cdot R_{s} \cdot (1+i)^{-5}}{\sum _{s=1}^{n} R_{s} \cdot (1+i)^{-5}}=-\frac {1}{1+i} \cdot D(i)=v o l \]
Come si vede in questo caso non sussiste l’uguaglianza perfetta tra Duration e volatilità, ma è necessario dividere la prima per il fattore \(1+i\) per ottenere la seconda.
Utilizzando la serie di Taylor si ottiene:
\[ V(i+\Delta i)=V(i)+\frac {d V()}{d i} \cdot \Delta =V(i)-\frac {D(i)}{1+i} \cdot V(i) \cdot \Delta \\ \]
2 Convexity
E’ importante soffermarsi sul tipo di approssimazione utilizzata quando si stima la variazione del prezzo del titolo tramite la volatilità. La funzione \(V(i)\) ha un andamento come il seguente:
Stimare la variazione del prezzo quando si passa da un tasso \(i\) ad uno \(i_{e}=i+\Delta i\) come proporzionale all’ampiezza dello shift \(\Delta i\) ed al coefficiente di volatilità \(-D(i)/(1+i)\) significa misurare la variazione sulla retta tangente e non direttamente sulla funzione. Questo deriva direttamente dall’aver limitato l’approssimazione al primo termine della serie di Taylor. L’errore che si commette dipende dalla curva disegnata dall’andamento del valore del titolo al variare del tasso. Si nota come allontanandosi dal punto di tangenza la qualità dell’approssimazione si va degradando ed i valori stimati attraverso la retta tangente si allontanano troppo dal valore effettivo. Quindi per dei \(\Delta i\) rilevanti non è più sufficiente la sola duration, ma bisogna aggiungere un ulteriore fattore con il quale tenere conto del grado di curvatura, ovvero della convessità dello strumento.
Come ultima osservazione si può notare che la variazione di prezzo per un movimento del tasso di attualizzazione stimata con la sola Duration fornisce dei valori simmetrici. Cioè se i tassi scendono di un dato \(\Delta i\) il prezzo cresce nella stessa misura in cui scenderebbe in caso di aumento di tassi pari allo stesso \(\Delta i\). E’ naturale che si registri un tale comportamento dato che la stima è fatta sulla retta tangente. Ma un tale situazione non si riscontra nei mercati reali, dove la reazione dei titoli a variazioni dei tassi non è simmetrica. Normalmente sono più sensibili a diminuzioni che a rialzi di tassi. Anche questo aspetto deriva dalla convessità, per cui si rende necessario andare a studiare la derivata seconda del prezzo rispetto al tasso di rendimento.
Lo studio della derivata seconda della funzione valore presa rispetto a variazioni di tasso di interesse permette di tenere conto degli aspetti relativi alla convessità della funzione stessa. Nel continuo si ottiene:
\[ \frac {d^{2} V(\delta )}{d \delta ^{2}}=\sum _{s=1}^{n} s^{2} \cdot R_{s} \cdot e^{-\delta \cdot s} \]
E similmente a quanto fatto in precedenza si divide per \(V(\delta )\) per ottenere
\[ \frac {\frac {d^{2} V(\delta )}{d \delta ^{2}}}{V(\delta )}=\frac {\sum _{s=1}^{n} s^{2} \cdot R_{s} \cdot e^{-a \cdot s}}{V(\delta )}=\frac {\sum _{s=1}^{n} s^{2} \cdot R_{s} \cdot e^{-a \cdot s}}{\sum _{s=1}^{n} R_{s} \cdot e^{-a \cdot s}}=D^{2}(\delta ) \]
Il coefficiente ottenuto è la cosiddetta Duration di secondo ordine calcolabile come la media ponderata delle scadenze al quadrato (così come la Duration è la media semplice ponderata delle scadenze). Nel continuo coincide esattamente con la convexity (così come nel continuo la duration coincide con la volatilità). Essendo ottenuta come derivata seconda esprime il cambiamento della derivata prima (Duration) per un dato movimento del tasso. Ricordando che la Duration corrisponde al coefficiente angolare della retta tangente alla curva è chiaro che la convexity permette di studiare la curvatura della funzione valore.
Analogamente a quanto visto in precedenza si può estendere l’approssimazione al secondo elemento della serie di Taylor utilizzando la Duration di secondo ordine.
\[ V(\delta +\Delta \delta ) \cong V(\delta )+\frac {d V(\delta )}{d \delta } \cdot \Delta \delta +\frac {d^{2} V(\delta )}{d \delta ^{2}} \cdot \frac {\Delta \delta ^{2}}{2 !}=\] \[V(\delta )-D(\delta ) \cdot V(\delta ) \cdot \Delta \delta +D^{2}(\delta ) \cdot V(\delta ) \cdot \frac {\Delta \delta ^{2}}{2 !} \]
Rispetto a prima si è semplicemente aggiunto un ulteriore termine corrispondente ad un’approssimazione tramite una parabola. La variazione percentuale del prezzo è ora funzione non solo della duration ma anche di un secondo termine, positivo nella maggior parte dei casi, e molto piccolo quando viene effettivamente calcolato che serve a tener conto della curvatura:
\[ \frac {V(b+\Delta \delta )-V(\delta )}{V(\delta )} \cong -D(\delta ) \cdot \Delta \delta +D^{2}(\delta ) \cdot \frac {\Delta \delta ^{2}}{2 !} \]
Questo termine di aggiustamento, essendo nella quasi totalità dei casi sempre positivo, corregge la variazione del prezzo, aumentandone la dimensione in caso di rialzo e attenuandola in caso di ribasso. All’aumentare della Convexity, quindi, aumenta la variazione positiva del valore del titolo al diminuire del tasso e si attenua la variazione negativa al crescere del tasso.
Nel discreto il discorso è leggermente diverso. Prendendo la derivata seconda:
\[ \frac {d^{2} V(i)}{d i^{2}}=\sum _{s=1}^{n} s \cdot (s+1) \cdot R_{s} \cdot (1+i)^{-(s+2)}=\] \[\frac {1}{(1+i)^{2}} \cdot \sum _{s=1}^{n}\left (s+s^{2}\right ) \cdot R_{s} \cdot (1+i)^{-s} \]
e dividendo per \(V(i)\) si ottiene:
\[ \frac {\frac {d^{2} V(i)}{d i^{2}}}{V(\theta )}=\frac {1}{(1+i)^{2}} \cdot \frac {\sum _{s=1}^{n}\left (s+s^{2}\right ) R_{s} \cdot (1+i)^{-5}}{V(\theta )}=\] \[\frac {1}{(1+i)^{2}} \cdot \frac {\sum _{s=1}^{n}\left (s+s^{2}\right ) R_{s} \cdot (1+i)^{-5}}{\sum _{s=1}^{n} R_{s} \cdot (1+i)^{-s}}=\frac {1}{(1+i)^{2}} \cdot (D(i)+D^{2}(i)) \]
Come si vede in questo caso non vi è perfetta coincidenza fra Duration di secondo ordine e Convexity. Bisogna infatti dividere per il coefficiente \((1+i)^{2}\). Ma, soprattutto, è importante notare la differenza nel numeratore rispetto al caso continuo. Mentre lì la D. di s.o. coincide perfettamente con la media ponderata delle scadenza al quadrato, nel discreto invece bisogna sommare a questa la media semplice ponderata.
Estendendo l’approssimazione al secondo termine della serie di Taylor si ottiene:
\[ V(i+\Delta i)\cong V(i)+\frac {d V(i)}{d i} \cdot \Delta i+\frac {d^{2} V(i)}{d i^{2}} \cdot \frac {\Delta ^{2}}{2 !}= \] \[V(i)-\frac {D(i)}{1+i} \cdot V(i) \cdot \Delta i+\frac {D^{2}(i)}{(1+i)^{2}} \cdot V(i) \cdot \frac {\Delta i^{2}}{2 !} \]
Che può anche essere riscritta più chiaramente come:
\[ V(i+\Delta i)=V(i)+\text { Volatility } V(i) \cdot \Delta i+\text { Convexity } V(i) \cdot \frac {\Delta i^{2}}{2 !} \]
La variazione percentuale del prezzo è proporzionale a:
\[ \frac {V(i+\Delta i)-V(i)}{V(i)} \cong \text { Valatility } \cdot \Delta i+\text { Convexity } \frac {\Delta i^{2}}{2 !} \]
Si vede che per degli shift \(\Delta i\) molto piccoli la differenza fra le due stime non è sensibile e ci si può limitare al primo termine della serie di Taylor. Per degli shift più ampi, invece, se si vuole mantenere un’approssimazione accettabile si deve aggiungere il termine corrispondente alla Convexity.
Per quanto detto in precedenza è chiaro che la Covexity sia una caratteristica molto ricercata per i titoli. Gli operatori di mercato si possono porre come obiettivo, a parità di Duration, la massimizzazione della Convexity, per godere del vantaggio di smorzare i ribassi dei prezzi in seguito ad un rialzo del tasso e di accentuarne i rialzi in seguito ad un ribasso del tasso di riferimento.
3 Conclusione
Quanto mostrato non deve trarre in inganno circa gli usi che si fanno sul mercato dei due coefficienti noti come Duration e Convexity. Questi vengono utilizzati come indicatori del rischio di un titolo, proprio per la loro capacità di riflettere in un indice sintetico la sensibilità del prezzo del titolo stesso a variazioni di tasso. Sono indicatori sintetici facilmente confrontabili che gli investitori devono tenere in forte considerazione per valutare la convenienza all’acquisto di uno piuttosto che di un altro titolo. In questo senso rappresentano un criterio di scelta fra investimenti alternativi.
Nella pratica non vengono invece utilizzati per stimare numericamente la variazione del prezzo di un titolo in seguito ad una variazione di tassi attesa. Questo perché, molto più semplicemente, si può ottenere tale variazione in termini esatti (non come una approssimazione) misurandola sulla funzione valore stessa \(V(i)\) della quale conosciamo l’algoritmo di calcolo preciso. Far vedere come tali indici possano servire per approssimare tramite una serie di Taylor il valore di un titolo è, però, comunque importante per mostrare quali sono gli aspetti che li portano a considerare come indicatori di rischio.
