Valutazione dei Prestiti

Indice

1 La valutazione dei prestiti

L’ammontare nominale dei debiti rappresenta una misura approssimativa del reale peso di un contratto di prestito. Questo infatti dipende sostanzialmente dal tasso di remunerazione e dal piano d’ammortamento previsto. È necessario perciò, “valutare” un prestito tenendo conto di tutte le sue caratteristiche.

Chiamiamo valore del prestito al tempo \(t\) e al tasso di valutazione \(j\), la somma dei valori attuali in \(t\) di tutte le rate previste dal piano d’ammortamento non ancora effettuate.

I valori attuali vanno calcolati al tasso \(j\) fissato da chi valuta il prestito.

Il valore complessivo del prestito sarà:

\[ A_{h}^{(j)}=\sum _{t=h+1}^{n} R_{t} \cdot (1+j)^{-(t-h)} \]

Tenendo conto che le rate sono costituite dalla somma della quota interesse e quota capitale possiamo riscrivere:

\[ \begin {array}{r} \text { La valutazione dei prestiti } \\ A_{h}^{(j)}=\sum _{t=h+1}^{n} C_{t} \cdot (1+j)^{-(t-h)}+\sum _{t=h+1}^{n} I_{t} \cdot (1+j)^{-(t-h)} \end {array} \]

La somma dei valori attuali delle quote capitale residue in un certo istante \(h\) e al tasso \(j\), prende il nome di nuda proprietà, mentre la somma dei valori attuali delle quote interesse residue si chiama usufrutto.

Nuda proprietà: \(\quad P_{h}^{(j)}=\sum _{t=h+1}^{n} C_{t} \cdot (1+j)^{-(t-h)}\)

Usufrutto: \(\quad U_{h}^{(j)}=\sum _{t=h+1}^{n} I_{t} \cdot (1+j)^{-(t-h)}\)

Valore complessivo del prestito

2 Introduzione

Quando ci si trova a dover confrontare operazioni finanziarie diverse allo scopo di giudicare sulla loro convenienza economica, spesso si fa ricorso alla determinazione di un criterio che tenga conto degli aspetti monetari e temporali delle operazioni stesse.

Nella matematica finanziaria si utilizzano vari metodi, i quali possono essere utilizzati anche assieme, per selezionare la scelta più conveniente senza commettere errori di valutazione.

In questo modulo ci proponiamo di fornire semplicemente gli opportuni algoritmi relativi al criterio del valore attuale netto, o VAN, al criterio del tasso di rendimento interno, o TIR, e al criterio del periodo di recupero, o Payback period.

Inoltre faremo un approfondimento relativamente al caso particolare e frequente dei pagamenti periodici, mediante I’utilizzo del metodo di Newton per la ricerca del tasso di rendimento interno.

3 L’omogeneità delle operazioni finanziarie

Qualunque criterio si utilizzi per valutare la convenienza economica delle operazioni

finanziarie, occorre che queste siano omogenee fra loro per poter essere confrontate.

Per chiarire il concetto consideriamo alcuni investimenti:

\[ \begin {gathered} I_{1}=\{-100,40,50,60\} |\{0,1,2,3\} \\ I_{2}=\{-80,38,48,35\} |\{0,1,2,3\} \\ I_{3}=\{-100,30,10,40,20\} |\{0,1,2,3,4\} \end {gathered} \]

Se il nostro problema è individuare l’operazione finanziaria più conveniente tra \(\mathrm {I}_{1}\) e \(\mathrm {I}_{2}\), ci rendiamo conto che I’ impostazione non è corretta, infatti le due alternative d’investimento richiedono esborsi iniziali diversi.

Anche un confronto fra l’investimento \(\mathrm {I}_{1}\) e l’investimento \(\mathrm {I}_{3}\) non può essere effettuato, nonostante le due operazioni prevedano lo stesso esborso iniziale, la loro scadenza è diversa.

Come già detto tutto ciò vale indipendentemente dal criterio utilizzato per valutare le operazioni finanziarie.

In conclusione, affinchè le operazioni finanziarie siano correttamente confrontate fra loro, è necessario che siano caratterizzate quanto meno dallo stesso esborso iniziale e dalla stessa durata.

4 Il valore attuale netto (VAN)

Consideriamo un’operazione finanziaria

\[ \mathrm {x} | \mathrm {t}=\left \{\mathrm {x}_{0}, \mathrm {x}_{1}, \mathrm {x}_{2}, \mathrm {x}_{3}, \ldots , \mathrm {x}_{\mathrm {n}-1}, \mathrm {x}_{\mathrm {n}}\right \} |\left \{\mathrm {t}_{0}, \mathrm {t}_{1}, \ldots , \mathrm {t}_{\mathrm {n}}\right \} \]

in cui gli importi \(x_{k}\) possono assumere sia valori positivi che negativi. Definiamo il VAN (valore attuale netto) di tale operazione finanziaria in base ad un certo tasso \(j\), come la somma dei valori attuali dei valori \(\mathrm {x}_{\mathrm {k}}\) in \(\mathrm {t}_{0}\).

Osserviamo che tale valore è relativo all’istante \(t_{0}\) e dipende anche dalla scelta del tasso di valutazione \(j\).

Intuitivamente, qualora chiamassimo costi i valori \(x_{k}\) negativi, e ricavi \(i\) valori \(x_{k}\) positivi, il VAN dell’operazione finanziaria \(x | t\), in base ad un certo tasso \(j\), è uguale alla differenza tra il valore attuale dei ricavi ed il valore attuale dei costi: ovviamente tra due operazioni finanziarie confrontabili sceglieremo quella che fornisce il VAN più elevato.

II VAN viene anche denominato REA (risultato economico attualizzato).

\[ V A N=\sum _{k=0}^{n} x_{k} \cdot (1+i)^{-\left (t_{k}-t_{0}\right )} \]

Ad esempio calcoliamo il VAN in \(t=0\) al tasso \(j=2 \%\) delle seguenti due operazioni finanziarie:

\[ \begin {gathered} \mathbf {x} | \mathrm {t}=\{-100 ; 10 ; 10 ; 10 ; 110\} |\{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4\} \\ \mathbf {x}^{\prime } | \mathrm {t}=\{-100 ; 20 ; 10 ; 9 ; 100\} |\{0 ; 1,5 ; 2 ; 3,5 ; 4\} \end {gathered} \]

VAN \(=-100+10 \cdot 1,02^{-1}+10 \cdot 1,02^{-2}+10 \cdot 1,02^{-3}+110 \cdot 1,02^{-4}=30,46183\)

VAN’ \(=-100+20 \cdot 1,02^{-1,5}+10 \cdot 1,02^{-2}+9 \cdot 1,02^{-3,5}+100 \cdot 1,02^{-4}=29,80823\) Possiamo quindi stabilire che, assegnato il tasso di valutazione \(j=2 \%\), la prima operazione è più conveniente in quanto il VAN è più alto rispetto alla seconda.

Osserviamo che il risultato dipende strettamente dal tasso scelto: infatti se utilizzassimo il tasso \(j=8 \%\), il risultato sarebbe completamente diverso:

\[ \operatorname {VAN}=6,624254 ; \quad \operatorname {VAN}^{\prime }=6,770615 \]

La seconda operazione risulta ora più conveniente.

Il criterio del VAN per la scelta tra due o più investimenti ha

due limiti principali alla sua applicazione:

1. la scelta del tasso di valutazione \(j\), essendo legata a considerazioni non del tutto oggettive, condiziona fortemente il risultato;
2. l’ipotesi di un tasso di valutazione costante nel periodo di osservazione è troppo restrittiva se pensiamo che nella realtà le variazioni di tasso possono essere rilevanti nel tempo.

Il secondo può essere risolto, come vedremo, mediante l’uso dei tassi a termine, cioè considerando la presenza di tassi diunnoi non In Niummon mondnnon

5 Il tasso interno di rendimento (TIR)

Assegnata una operazione finanziaria \(\mathbf {x} | \mathrm {t}\) di importi \(x_{h}\) alle scadenze \(t_{h}\) con \(\mathrm {h}=0,1, \ldots , \mathrm {h}\), definiamo tasso interno di rendimento (TIR) di \(\mathrm {x}\), il tasso di interesse \(i^{*}\) della legge di capitalizzazione esponenziale per cui l’operazione assegnata risulti equa.

Per definizione, quindi, il TIR è la soluzione \(i^{*}\) della seguente equazione nell’incognita \(i\) :

\[ \sum _{k=0}^{n} x_{k} \cdot (1+i)^{-\left (t_{k}-t_{0}\right )}=0 \]

Siccome il primo membro non è altro che il VAN dell’operazione \(\mathbf {x} | \mathrm {t}\), si può definire semplicemente il TIR come quell’unico tasso che annulla il VAN. D’ora in poi, senza perdita di generalità, assumeremo come istante iniziale \(t_{0}\) l’origine dell’asse delle ascisse, e scriveremo l’equazione del TIR nella incognita \(\mathrm {v}=(1+\mathrm {i})^{-1}\). In tal modo scriveremo:

\[ \sum _{k=0} x_{k} \cdot v^{t_{k}}=0 \]

E’ opportuno notare che un’operazione finanziaria potrebbe non essere dotata di TIR; ciò avviene quando l’equazione del TIR non ammette soluzioni reali positive oppure ne ammette più di una.

Esiste un teorema (Norstrom) che fornisce una condizione sufficiente per l’esistenza del TIR che sostanzialmente dice che se il primo pagamento è inferiore alla somma dei successivi incassi, il TIR esiste ed è significativo.

Consideriamo ora il caso dei pagamenti periodici, assumendo come periodo unitario l’anno. Essendo \(t_{k}=k\), l’equazione del TIR diventa

\[ \sum _{k=0}^{n} x_{k} \cdot v^{k}=0 \]

cioè un’equazione algebrica di grado \(n\) nell’incognita \(v\). Per il teorema fondamentale dell’algebra il polinomio \(p_{n}(v)\) al primo membro è scomponibile nel modo seguente:

\[ \sum _{k=0}^{n} x_{k} \cdot v^{k}=x_{n} \cdot \left (v-r_{1}\right )^{m_{1}} \cdot \left (v-r_{2}\right )^{m_{2}} \cdots \left (v-r_{h}\right )^{m_{h}} \]

I numeri complessi \(r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{h}\), sono le radici del polinomio, mentre gli esponenti (molteplicità delle radici) sono tali che \(n=m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{h}\).

L’unico caso che interessa dal punto di vista finanziario è quello secondo cui il polinomio dato ammette l’unica radice (detta anche “zero”) compresa tra 0 e 1 , in quanto trattasi di un tasso d’interesse.

Teorema di Cartesio: se chiamiamo \(N\) il numero delle variazioni nella successione dei segni dei coefficienti di \(\mathrm {p}_{\mathrm {n}}(\mathrm {v})\), ed \(h\) il numero delle radici positive di \(p_{n}(v)=0\) (contate con molteplicità), allora si ha \(N=h\).

Grazie a questo teorema, se poniamo \(N=0\) (nessun cambio di segno dei coefficienti – importi tutti positivi o tutti negativi) allora \(h=0\) ossia non ci sono soluzioni per il polinomio (non esiste il TIR). Se poniamo ad esempio \(N=1\), allora \(h=1\) perciò esiste una soluzione positiva. Si è ottenuto il seguente risultato:

Condizione sufficiente affinché l’equazione del TIR ammetta un’unica soluzione positiva è che gli importi \(x_{0}, \ldots , x_{n}\), cambino segno solo una volta.

In sostanza è il caso del pagamento seguito dagli incassi (investimento in senso stretto) oppure dell’incasso seguito dai pagamenti (finanziamento in senso stretto)

L’equazione per la ricerca del TIR porta spesso ad equazioni algebriche di grado elevato le cui soluzioni si trovano con metodi di approssimazione.

Consideriamo la seguente operazione finanziaria:

\[ \mathrm {x} | \mathrm {t}=\{-99,2 ; 4 ; 4 ; 4 ; 104\} |\{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4\} \]

II TIR si ottiene risolvendo la seguente equazione di equilibrio fra entrate e uscite (per il teorema di Norstrom, sappiamo che la soluzione esiste):

\[ 99,2=4 \cdot (1+i)^{-1}+4 \cdot (1+i)^{-2}+4 \cdot (1+i)^{-3}+104 \cdot (1+i)^{-4} \]

Devo cercare il tasso che sostituito nell’equazione mi dia 99,2 Indico \(X_{0}=A=99,2\).

6 Ricerca del TIR: il metodo dell’interpolazione lineare

Procedo per tentativi, ipotizzando tassi via via crescenti, troverò quello giusto.

IL TIR È COMPRESO FRA QUESTI DUE VALORI.

Abbiamo osservato che il TIR è compreso fra il \(4 \%\) e il \(4,5 \%\). Indico queste soglie rispettivamente \(i_{0} e i_{1}\), indico \(\mathrm {A}_{0}\) il valore che trovo sostituendo \(i_{0}\) nell’equazione, e \(A_{1}\) invece il valore che trovo sostituendo \(i_{1}\).

\[ \begin {array}{lll} i_{0}=0,04 & & \\ i=? & & A_{0}=100 \\ i_{1}=0,045 & \longrightarrow & A=99,2 \\ A_{1}=98,206 \end {array} \]

• Applichiamo la formula dell’interpolazione lineare:

\[ i \cong i_{0}+\frac {i_{1}-i_{0}}{A_{1}-A_{0}} \cdot \left (A-A_{0}\right ) \]

Si ottiene:

\[ i \cong 0,04+\frac {0,045-0,04}{98,206-100} \cdot (99,2-100)=0,0422 \]

Tra due operazioni di investimento (finanziamento) dotate di TIR, è conveniente scegliere quella con il tasso interno di rendimento maggiore (risp. di costo minore). Il criterio del TIR appena enunciato, data la sua semplicità, non ha bisogno di particolari commenti; inoltre, in generale, possiamo asserire che:

Una operazione di investimento (finanziamento) dotata di TIR può essere eseguita se il suo tasso interno di rendimento è maggiore (risp. minore) di un tasso di riferimento prefissato, al quale si ritiene di poter altrimenti investire le proprie disponibilità (risp. al quale si ritiene di potersi altrimenti finanziare)

7 Il criterio del TIR

Nel secondo enunciato del criterio del TIR viene implicitamente messa in risalto l’esistenza di un tasso unico costante per una durata anche notevole, con cui il valutatore opera la scelta. Ciò, purtroppo, rappresenta un limite in quanto il tasso di riferimento è arbitrario; inoltre è ipotizzato costante per tutta la durata dell’operazione.

Questi limiti sono gli stessi già visti per il VAN.

Osservazione. Se due operazioni di investimento \(A\) e \(B\) hanno rispettivamente un TIR del 4% e 5%, perché possiamo preferire la \(B\), supponendole nello stesso contesto finanziario?

In altre parole, a parità di altre condizioni, nello stesso ambiente finanziario è difficile pensare che coesistano due operazioni con TIR differenti: quella sconveniente non avrebbe modo di esistere. Esistono, però, casi in cui effettivamente il TIR può essere d’aiuto.

8 il TAEG e il TAN

Il tasso annuo effettivo globale (T.A.E.G.) è definito come quel tasso annuo che rende uguali la somma del valore attuale di tutti gli importi che compongono un finanziamento erogato dal creditore con la somma del valore attuale di tutte le rate di rimborso.

In altre parole il TAEG rende nullo il VAN; è proprio la definizione del TIR:

\[ \mathrm {TAEG}=\mathrm {TIR} \]

Tale definizione è espressa nel Decreto Ministeriale dell’8 luglio 1991, in applicazione della legge 141/91, per consentire al consumatore di leggere un parametro di confronto attendibile ed efficace nella scelta di un’operazione di credito al consumo.

TAEG \(\geq \) TAN

e vale il segno di uguaglianza solo nel caso in cui le spese siano nulle. A titolo di esempio, consideriamo un finanziamento per l’acquisto di un bene durevole con valore pari a 12.000 euro, rimborsabili mediante 12 rate mensili posticipate di importo 1.000 euro, e sia pari a 150 euro il costo per l’istruttoria del finanziamento.

Chiaramente il TAN è nullo, essendo la somma delle rate pari al finanziamento ottenuto. Il legislatore, al fine di obbligare gli operatori ad avere un comportamento trasparente, ha imposto l’uso del TAEG nelle comunicazioni pubblicitarie, per cui il consumatore ha la possibilità di tener conto di tutte le variabili che condizionano la scelta.

\[ 1.000 \cdot \sum _{\mathrm {k}=1}^{12}\left (1+i_{1 / 12}^{*}\right )^{-k}+150=12.000 \]

Mediante la funzione Excel TIR.COST troviamo il valore \(\mathrm {i}_{1/12}^{*}=0,001941\) ed infine il TIR annuo:

\[ i^{*}=\left (1+i_{1 / 12}^{*}\right )^{12}-1=2,3536 \% \]

Il consumatore può allora stimare con certezza le offerte sul mercato per valutare quella più conveniente: in questo esempio è preferibile un finanziamento a costi zero e tasso 2% (TAEG e TAN pari al due percento).