Duration

Indice

1 Introduzione

Nel valutare la convenienza di una operazione finanziaria, l’approccio più comune consiste nell’associare alle operazioni stesse una funzione di valore (anche detta funzione di utilità) che ne misuri la convenienza o meno. il problema della valutazione e della scelta si traduce in un problema di programmazione matematica.Le più note funzioni di utilità sono il valore attuale, il montante, il TIR, il payback period e la durata media finanziaria (d.m.f.).In questa sezione introdurremo la d.m.f. come la media ponderata delle scadenze di un’obbligazione. Vedremo come in regime di capitalizzazione composta la d.m.f. misura la sensibilità del valore di una obbligazione alle variazioni del tasso di valutazione.

2 Indici temporali di un flusso di pagamenti: scadenza e vita a scadenza

Consideriamo un flusso di importi non tutti nulli pagabili a determinate scadenze:\(x/t = {x1, x2,…, xn} / {t1, t2,…, tn}\) Definiamo operazione finanziaria l’acquisto o la vendita in \(t (t\leq t1\leq t2\leq …\leq tn)\) del titolo che garantisce il flusso \(x/t\). Si vogliono trovare alcuni indici temporali sintetici che possano aiutare a descrivere la natura dell’operazione finanziaria; il più semplice ed immediato è il valore tn denominato “scadenza” o “maturity”. Maggiore significato lo ha la quantità tn – t, definita “vita a scadenza” o “time to maturity”, che esprime la differenza tra tn e l’epoca che indica l’istante di osservazione. Si tratta di indicatori che presentano molti limiti in quanto trascurano i pagamenti intermedi.

3 Indici temporali di un flusso di pagamenti: la scadenza media aritmetica

Un indicatore temporale più sofisticato è la “scadenza media aritmetica” definita come. segue: \[d=\frac {\sum _{k=1}^{n}{t_k\cdot x_k}}{\sum _{k=1}^{n}x_k} \] Tale indicatore, seppur più significativo dei due precedenti, incontra un limite nel non considerare la legge finanziaria sottostante.

4 Indici temporali di un flusso di pagamenti: la duration, la duration con struttura piatta

Consideriamo l’operazione finanziaria x/t così come definita in precedenza, nonché la struttura dei tassi a pronti v(t0 ,tn). La “durata media finanziaria”, o duration, o d.m.f., ipotizzando l’istante di valutazione l’epoca iniziale (t0=0); di x/t è definita come:

\[D=\frac {\sum _{k=1}^{n}{t_k\cdot x_k\cdot v\left (0,t_k\right )}}{\sum _{k=1}^{n}{x_k\cdot v\left (0,t_k\right )}}\]

La durata media finanziaria o duration, è la media ponderata delle scadenze, utilizza come pesi i valori attuali degli importi corrispondenti alle scadenze predette, pertanto il risultato è una scadenza.

La stessa formula può essere riscritta : \[D=\frac {\sum _{k=1}^{n}{t_k\cdot x_k\cdot \left [1+i\left (0,t_k\right )\right ]^{-t_k}}}{\sum _{k=1}^{n}{x_k\cdot \left [1+i\left (0,t_k\right )\right ]^{-t_k}}}\]

La durata media finanziaria è espressa in unità di tempo, quindi se le generiche epoche sono espresse in anni, anche la duration sarà espressa in anni.È detta anche duration di primo ordine.

Nell’ipotesi in cui si abbia una struttura dei tassi piatta, quindi tutti i tassi sono uguali e pari ad i, la duration assume la seguente formula: \[\hat {D}=\frac {\sum _{k=1}^{n}{t_k\cdot x_k\cdot \left (1+i\right )^{-t_k}}}{\sum _{k=1}^{n}{x_k\cdot \left (1+i\right )^{-t_k}}} \] Oppure utilizzando il tasso istantaneo: \[\hat {D}=\frac {\sum _{k=1}^{n}{t_k\cdot x_k\cdot e^{-\delta \cdot t_k}}}{\sum _{k=1}^{n}{x_k\cdot e^{-\delta \cdot t_k}}} \]

Le due equazioni rappresentano La flat yield curve duration

Prima di passare ad alcuni esempi numerici sul calcolo della durata media finanziaria, elenchiamone alcune proprietà notevoli.

Se il tasso cresce, il valore attuale diminuisce e anche i pesi, di conseguenza anche la duration. La duration di uno zcb è pari alla sua vita residua e non dipende (se non eccezionalmente) dal tasso di valutazione i (i titoli a duration più elevata sono gli zcb). Per un titolo con cedole la d.m.f è inferiore alla vita residua e tantopiù piccola quanto maggiore è il peso delle cedole rispetto al valoredi rimborso.

All’aumentare del valore delle cedole la D diminuisce. Se consideriamo le seguenti operazioni finanziarie B1 e B2 e indichiamo le corrispondenti duration D1 e D2 B1 = 0 1 2 3 | 0 10 110 10 B2 = 0 1 2 3 | 0 20 110 20 \[D2 < D1 \]

Calcolare la duration del seguente titolo: \[b1 = (-99; 5; 5; 105) | (0; 1; 2; 3)\] se \[ v(0, 1) = 0,95; v(0, 2) = 0,90 e v(0, 3) = 0,85\] \[D=\frac {\sum _{k=1}^{n}{t_k\cdot x_k\cdot v\left (0,t_k\right )}}{\sum _{k=1}^{n}{x_k\cdot v\left (0,t_k\right )}}\rightarrow \]

\[D=\frac {1\cdot 5\cdot v\left (0,1\right )+2\cdot 5\cdot v\left (0,2\right )+3\cdot 105\cdot v\left (0,3\right )}{5\cdot v\left (0,1\right )+5\cdot v\left (0,2\right )+105\cdot v\left (0,3\right )}=\frac {281,5}{98,5}=2,8579 \]

Esempio di calcolo della duration con struttura dei tassi piatta. Consideriamo un’obbligazione: \[b = (-700; 320; 500)/(0; 1; 3)\]

con \(i =10,5\%\).

Calcolare la d.m.f \[D=\frac {\sum _{k=1}^{n}{t_k\cdot x_k\cdot \left (1+i\right )^{-t_k}}}{\sum _{k=1}^{n}{x_k\cdot \left (1+i\right )^{-t_k}}} \] \[D=\frac {1\cdot 320\cdot (1+0,105)^{-1}+3\cdot 500\cdot (1+0,105)^{-3}}{320\cdot (1+0,105)^{-1}+500\cdot (1+0,105)^{-3}}=\frac {1.401,34}{\mathrm {660,17}}=2,1227 \]

5 La duration come indicatore di sensibilità del valore del titolo

Osserviamo che nella formula della duration il denominatore rappresenta il prezzo del titolo, infatti, è la somma dei valori attuali degli importi del titolo, ad un certo tasso di valutazione. Indichiamolo con V(i): \[V\left (i\right )=\sum _{k=1}^{n}{x_k\cdot \left (1+i\right )^{-t_k}}\] oppure \[V\left (\delta \right )=\sum _{k=1}^{n}{x_k\cdot e^{-\delta \cdot t_k}} \]

Rappresenta il valore di mercato del titolo.

Determiniamo l’andamento di V rispetto al tasso i. \[V\left (i\right )=\sum _{k=1}^{n}{x_k\cdot \left (1+i\right )^{-t_k}} \] Se il tasso aumenta, V diminuisce Se il tasso diminuisce, V aumenta

Sia l’obbligazione: b = (V; 5; 5; 105)/(0; 1; 2; 3) e un tasso \(i=5\%\). Calcoliamo il prezzo del titolo: Ipotizziamo ora un aumento del tasso, che dal \(5\%\) passa al \(6\%\):Vediamo che il valore del titolo è diminuito. Se \(i=4\%\), V(4%) = 102,78 ossia il prezzo aumenta.

Consideriamo

\[ V(i)=\sum _{k=1}^{n} x_{k} \cdot (1+i)^{-t_{k}} \quad V(\delta )=\sum _{k=1}^{n} x_{k} \cdot e^{-\delta \cdot t_{k}} \]

Se deriviamo \(V\) rispetto al tasso il risultato è:

\[ \frac {d V}{d i}=-\frac {\widehat {D}}{1+i} \cdot V \]

La derivata esprime che a seguito di una variazione del tasso, avremo una variazione del prezzo \(\mathrm {V}\), la duration si configura come un fattore di proporzionalità che lega la

\[ \frac {d V}{d \delta }=-\widehat {D} \cdot V \]

variazione del prezzo a quella del tasso effettivo \(i\) o del tasso istantaneo \(\delta \)

Esempio.

Consideriamo due obbligazioni \(b_{1}\) e \(b_{2}\) che hanno prezzo

e duration pari a:

Ipotizziamo un aumento del tasso: \(i^{\prime }=6 \%\)

\[ \begin {aligned} & \Delta V=-\frac {\widehat {D}}{1+i} \cdot V \cdot \Delta i \quad \Delta i=1 \% \\ & \Delta V_{1}=-\frac {2}{1+0,05} \cdot 100 \cdot 0,01=-1,905 \\ & \Delta V_{2}=-\frac {3}{1+0,05} \cdot 100 \cdot 0,01=-2,857 \end {aligned} \]

\[ \begin {aligned} & V_{1}(6 \%)=V_{1}(5 \%)+\Delta V_{1}=100+(-1,905)=98,095 \\ & V_{2}(6 \%)=V_{2}(5 \%)+\Delta V_{2}=100+(-2,857)=97,143 \end {aligned} \]

Il titolo con duration maggiore ha subito una variazione più alta (a parità di prezzo).

Esempio.

Un titolo obbligazionario possiede duration pari a 4,1 ; quota sul mercato 102,1 ed il tasso \(i(0, t)\) è riassunto da

una struttura piatta con \(i(0, t)=i=0,045\). Calcolare la variazione del prezzo a seguito della variazione negativa di un punto percentuale del tasso.

\[ \begin {gathered} V=V(i) \\ \Delta V=-\frac {\widehat {D}}{1+i} \cdot V \cdot \Delta i \\ \Delta V=-\frac {4,1}{1+0,045} \cdot 102,1 \cdot (-0,01)=+4,0058 \\ V^{\prime }=V+\Delta V=102,1+4,0058=106,1058 \end {gathered} \]

6 Duration e dispersione di portafogli

Nell’attuazione di una strategia di portafoglio composto da obbligazioni, è molto utile osservare il comportamento della “duration di secondo ordine”, così definita:

\[ D^{(2)}=\frac {\sum _{k=1}^{n} t_{k}^{2} \cdot x_{k} \cdot v\left (0, t_{k}\right )}{\sum _{k=1}^{n} x_{k} \cdot v\left (0, t_{k}\right )} \]

La duration di secondo ordine è, quindi, definita come quella “semplice” (di primo ordine), con la sostanziale differenza che al numeratore troviamo i quadrati delle scadenze.

Oppure utilizzando una struttura dei tassi piatta:

La duration di \(2^{\circ }\) ordine è una misura di dispersione temporale del flusso \(x\) rispetto a \(t\).

Nel caso di un solo valore \(x_{k} \neq 0\) la duration di \(2^{\circ }\) ordine coinciderebbe col quadrato della scadenza. L’approfondimento dell’interpretazione di questo indice avverrà più avanti.

Esempio.

Calcolare la duration di secondo ordine (dispersione) del seguente titolo:

\[ \mathrm {b}_{1}=(-99 ; 5 ; 5 ; 105) /(0 ; 1 ; 2 ; 3) \]

se \(v(0 ; 1)=0,95 ; v(0 ; 2)=0,90\) e \(v(0 ; 3)=0,85\)

\[ D^{(2)}=\frac {\sum _{k=1}^{n} t_{k}^{2} \cdot x_{k} \cdot (1+i)^{-t_{k}}}{\sum _{k=1}^{n} x_{k} \cdot (1+i)^{-t_{k}}} \]

\[ D^{(2)}=\frac {1 \cdot 5 \cdot v(0,1)+4 \cdot 5 \cdot v(0,2)+9 \cdot 105 \cdot v(0,3)}{5 \cdot v(0,1)+5 \cdot v(0,2)+105 \cdot v(0,3)}=\frac {826}{98,5}=8,3858 \]

7 Indici di variabilità di un flusso di pagamenti

In un mercato in cui la struttura dei tassi è piatta al livello \(i\), il prezzo di un titolo

\[ x / t=\left \{x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\right \} /\left \{t_{1}, t_{2}, \ldots , t_{n}\right \} \]

oltre che dalle caratteristiche del titolo e dal tempo \(t\), dipende dal parametro \(i\). Assumendo che \(x / t\) non abbia pagamenti negativi, al tempo \(t=0\) la funzione valore

\[ V(i)=\sum _{k=1}^{n} x_{k} \cdot (1+i)^{-t_{k}} \quad V(\delta )=\sum _{k=1}^{n} x_{k} \cdot e^{-\delta \cdot t_{k}} \]

può essere considerata come funzione di \(i\), oppure del tasso istantaneo \(\delta \).

Ipotizzando che il mercato evolve per strutture piatte, ossia successivamente ad un tempo \(t\) la struttura cambia livello rimanendo sempre piatta. Vogliamo studiare i prezzi \(V(i)\) oppure \(V(\delta )\) ed altri indici ad essi collegati. Innanzitutto valgono le seguenti condizioni:

\[ V(i)>0 \quad V(0)=\sum _{k=1}^{n} x_{k} \quad \lim _{i \rightarrow \infty } V(i)=0 \]

\[ V(\delta )>0 \quad V(0)=\sum _{k=1}^{n} x_{k} \quad \lim _{i \rightarrow \infty } V(\delta )=0 \]

Scriviamo ora le derivate prima e seconda rispetto alle variabili \(i\) e \(\delta \) :

\[ \begin {aligned} & V^{\prime }(i)=\sum _{k=1}^{n}\left (-x_{k} \cdot (1+\mathrm {i})^{-t_{k}} \cdot \frac {t_{k}}{1+i}\right ) \\ & V^{\prime \prime }(i)=\sum _{k=1}^{n}\left (x_{k} \cdot (1+i)^{-t_{k}} \cdot \frac {t_{k}^{2}}{(1+i)^{2}}+x_{k} \cdot (1+i)^{-t_{k}} \cdot \frac {t_{k}}{(1+i)^{2}}\right ) \\ & V^{\prime }(\delta )=-\sum _{k=1}^{n} t_{k} \cdot x_{k} \cdot e^{-\delta \cdot t_{k}} \\ & V^{\prime \prime }(\delta )=\sum _{k=1}^{n} t_{k}^{2} \cdot x_{k} \cdot e^{-\delta \cdot t_{k}} \end {aligned} \]

Attraverso la derivata del prezzo ricaviamo i principali indici di variabilità rispetto alle variabili \(i\) e \(\delta \). La variazione relativa (o semielasticità) è definita dal rapporto tra la derivata prima del prezzo ed il prezzo stesso:

\[ \begin {array}{ll} \frac {V^{\prime }(i)}{V(i)} & \frac {V^{\prime }(\delta )}{V(\delta )} \end {array} \]

\(\rightarrow \) derivata logaritmica del prezzo \(V\).

La variazione relativa si può interpretare quindi come la misura della rapidità di variazione per unità di capitale. Effettuando alcuni semplici passaggi algebrici, troviamo il legame tra la semielasticità e la duration del titolo:

\[ \begin {aligned} & \frac {V^{\prime }(i)}{V(i)}=-\frac {1}{1+i} \widehat {D} \\ & \frac {V^{\prime }(\delta )}{V(\delta )}=-\widehat {D} \end {aligned} \]

È detta anche MODIFIED DURATION

L’elasticità è definita come prodotto tra la semielasticità e la variabile \(i(0 \delta )\) :

\[ \cdot \frac {V^{\prime }(i)}{V(i)} \]

\[ \delta \cdot \frac {V^{\prime }(\delta )}{V(\delta )} \]

Anche per l’elasticità, effettuando alcuni semplici passaggi algebrici, troviamo il legame con la duration del titolo:

\[ \begin {aligned} & i \cdot \frac {V^{\prime }(i)}{V(i)}=-\frac {i}{1+i} \cdot \widehat {D} \\ & \delta \cdot \frac {V^{\prime }(\delta )}{V(\delta )}=-\delta \cdot \widehat {D} \end {aligned} \]

La convexity (o convessità semplice) è definita come rapporto tra la derivata seconda della funzione prezzo e la funzione stessa:

\[ \frac {V^{\prime \prime }(i)}{V(i)} \]

\[ \frac {V^{\prime \prime }(\delta )}{V(\delta )} \]

\(E^{\prime }\) una misura della convessità per unità di capitale.

Per la convexity, effettuando alcuni semplici passaggi

algebrici, troviamo il legame con le duration del primo e del secondo ordine del titolo:

\[ \begin {aligned} \frac {V^{\prime \prime }(i)}{V(i)} & =\frac {1}{(1+i)^{2}} \cdot \left [\widehat {D}^{(2)}+\widehat {D}\right ] \\ \frac {V^{\prime \prime }(\delta )}{V(\delta )} & =\widehat {D}^{(2)} \end {aligned} \]

Osserviamo che la convexity funzione dell’intensità \(\delta \) è esattamente pari alla duration di secondo ordine. La convessità relativa è definita come rapporto tra la derivata seconda della funzione prezzo e la derivata prima della stessa:

\[ \frac {V^{\prime \prime }(i)}{V^{\prime }(i)} \]

\[ \frac {V^{\prime \prime }(\delta )}{V^{\prime }(\delta )} \]

Questo indice, detto anche volatility convexity, misura la convessità del prezzo rispetto all’unità di variazione del prezzo. Effettuando alcuni semplici passaggi algebrici, troviamo il legame della convessità relativa con le duration del primo e del secondo ordine del titolo:

\[ \begin {aligned} & \frac {V^{\prime \prime }(i)}{V^{\prime }(i)}=-\frac {1}{1+i} \cdot \left (\frac {\widehat {D}^{(2)}}{\widehat {D}}+1\right ) \\ & \frac {V^{\prime \prime }(\delta )}{V^{\prime }(\delta )}=-\frac {\widehat {D}^{(2)}}{\widehat {D}} \end {aligned} \]

Osserviamo che la convessità relativa, funzione dell’intensità \(\delta \), è esattamente pari al rapporto tra la duration di secondo ordine e quella di primo ordine, col segno opposto.

Come esempio consideriamo l’obbligazione ( \(t\) in anni):

\[ \mathrm {x} / \mathrm {t}=\{3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 103\} /\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5\} \]

in un mercato in cui la struttura dei tassi è piatta al

tasso \(i=3 \%\) (essendo \(i=\mathrm {I} / \mathrm {VN}\), il prezzo è \(V(i)=100\) ).

L’intensità di rendimento è

\[ \delta =\log (1,03)=0,02956 \]

Il valore della duration di primo ordine in \(t=0\) :

\[ D=4,717 \]

Il calcolo della duration del secondo ordine porta al valore \(\mathrm {D}^{(2)}=23,028\).

Calcoliamo la semielasticità:

\[ \frac {V^{\prime }(i)}{V(i)}=-\frac {1}{1,03} \cdot 4,717=-4,58 \quad \frac {V^{\prime }(\delta )}{V(\delta )}=-4,717 \]

\[ \begin {aligned} & i \cdot \frac {V^{\prime }(i)}{V(i)}=-0,03 \cdot \frac {1}{1,03} \cdot 4,717=-0,137 \\ & \delta \cdot \frac {V^{\prime }(\delta )}{V(\delta )}=-0,02956 \cdot 4,717=-0,139 \end {aligned} \]

Convexity:

\[ \frac {V^{\prime \prime }(i)}{V(i)}=\frac {1}{1,03^{2}} \cdot (23,028+4,717)=26,152 \quad \frac {V^{\prime \prime }(\delta )}{V(\delta )}=23,028 \]

Convessità relativa:

\[ \frac {V^{\prime \prime }(i)}{V^{\prime }(i)}=-\frac {1}{1,03} \cdot \left (\frac {23,028}{4,717}+1\right )=-5,711 \quad \frac {V^{\prime \prime }(\delta )}{V^{\prime }(\delta )}=-\frac {23,028}{4,717}=-4,882 \]

8 Conclusioni

• In questa sezione abbiamo introdotto gli indici temporali per valutare i flussi di pagamenti, ed in particolare le obbligazioni, nel loro aspetto temporale;
• Abbiamo considerato sia indici grossolani che indici più complessi, che tengano conto della struttura dei tassi e della distribuzione nel tempo degli importi;
• Abbiamo scoperto, tramite gli indici di variabilità, che non tutti i titoli sono sensibili allo stesso modo ad una variazione della struttura piatta dei tassi;
• Abbiamo osservato che \(\mathrm {i}\) titoli che presentano una duration maggiore sono più sensibili alle oscillazioni del tasso di mercato.