Struttura a termini dei tassi di interesse

Indice

1 Le ipotesi caratteristiche del mercato: non frizionalità, competitività, assenza di arbitraggi

I concetti fondamentali della matematica finanziaria saranno ora inseriti nel contesto di un mercato ideale.

L’emissione e lo scambio dei titoli (o contratti) finanziari avviene attraverso il cosiddetto mercato dei capitali, un termine dal significato molto ampio, che possiamo caratterizzare come l’insieme dei prodotti finanziari oggetto di emissione e di scambio ed il sistema degli ”attori” che a diverso titolo agiscono nel mercato. In questa sede tralasciamo sia l’aspetto delle norme, consuetudini e disposizioni che regolano le emissioni e gli scambi dei titoli, che l’insieme delle strutture mediante le quali avvengono le negoziazioni dei prodotti finanziari, prediligendo come oggetto di studio i titoli obbligazionari.

Sono le ipotesi di funzionamento del mercato che determinano il prezzo di un titolo obbligazionario, anziché una legge di equivalenza finanziaria astratta.

Al fine di descrivere formalmente le leggi che governano il mercato obbligazionario poniamo alcune ipotesi fondamentali:

Non ci sono costi di transazione né prelievi fiscali

E’ possibile detenere quote negative di titoli (short sales o vendite allo scoperto)

Non esiste rischio di insolvenza (default risk), i contratti verranno sicuramente onorati.

I titoli sono infinitamente divisibili (non esiste né il minimo né il massimo negoziabile)

Tutti gli operatori hanno opinioni conformi e perseguono la massimizzazione del profitto: nella scelta di due quantità monetarie preferiscono sempre, a parità di altre condizioni, il possesso della quantità maggiore

Nessun operatore, con la sua attività di transazione, è in grado di influenzare il prezzo dei titoli (price taker). Vendendo (o comprando) grandi quantità dello stesso titolo, il prezzo di mercato non scende (o sale).

E’ preclusa la possibilità di realizzare profitti senza che ciò comporti alcuna assunzione di rischio

2 Contratti a pronti, contratti a termine (forward)

Ipotizziamo che nel mercato appena descritto esistano due tipologie di operazioni finanziarie: operazioni a pronti e a termine.

Operazione a pronti:

È un’operazione finanziaria conclusa in \(\mathbf {t}_{0}\) che prevede lo scambio di un importo \(x_{0}\) in \(t_{0}\) con un altro importo \(x_{n}\) in \(t_{n}\).

Operazione a termine:

È un’operazione finanziaria conclusa in \(t_{0}\) che prevede lo scambio di un importo \(x_{h}\) in \(t_{n}\) con un altro importo \(x_{n}\) in \(t_{n}\).

Lo schema delle due operazioni finanziarie è il seguente.

Operazione a pronti \(\longrightarrow \left (\mathbf {x}_{\mathbf {0}}, \mathbf {x}_{\mathbf {n}}\right ) /\left (\mathbf {t}_{\mathbf {0}}, \mathbf {t}_{\mathbf {n}}\right )\)

Operazione a termine \(\longrightarrow \left (\mathbf {0}, \mathbf {x}_{h}, \mathbf {x}_{n}\right ) /\left (\mathbf {t}_{0}, \mathbf {t}_{\mathrm {h}}, \mathbf {t}_{\mathrm {n}}\right )\)

Nell’operazione finanziaria a termine all’epoca \(t_{0}\) non c’è scambio di denaro, ma solo l’accordo.

N.B. Per indicare lo schema delle operazioni finanziarie si possono usare indifferentemente le parentesi tonde o graffe.

3 Tassi d’interesse a pronti

Sia disponibile nel mercato uno ZCB \(\left (x_{0}, x_{n}\right ) /\left (t_{0}, t_{n}\right )\), che paga \(x_{n}\) all’epoca \(t_{n}\) e costa oggi \(x_{0}\), l’investitore potrà capitalizzare le sue risorse secondo il fattore di capitalizzazione:

\[ r\left (t_{0}, t_{n}\right )=\frac {x_{n}}{x_{0}} \]

Per convenzione ci riferiamo al regime finanziario dell’interesse composto:

\[ \mathrm {r}\left (t_{0}, t_{n}\right )=\left [1+i\left (t_{0}, t_{n}\right )\right ]^{t_{n}-t_{0}} \]

Simmetricamente possiamo ricavare il valore attuale

\[ v\left (t_{0}, t_{n}\right )=\frac {x_{0}}{x_{n}}=\left [1+i\left (t_{0}, t_{n}\right )\right ]^{-\left (t_{n}-t_{0}\right )} \]

Indicheremo tasso d’interesse a pronti o tasso spot

il tasso espresso su base periodale: \(i\left (t_{0}, t_{n}\right )\)

\[ i\left (t_{0}, t_{n}\right )=v\left (t_{0}, t_{n}\right )^{-\frac {1}{t_{n}-t_{0}}}-1 \]

Partendo dal valore attuale

\[ i\left (t_{0}, t_{n}\right )=r\left (t_{0}, t_{n}\right )^{\frac {1}{t_{n}-t_{0}}}-1 \]

Partendo dal montante

Tasso istantaneo a pronti:

\[ h\left (t_{0}, t_{n}\right )=\frac {1}{t_{n}-t_{0}} \log r\left (t_{0}, t_{n}\right )=-\frac {1}{t_{n}-t_{0}} \log v\left (t_{0}, t_{n}\right ) \]

4 Struttura a termine dei tassi e relazione di coerenza

La disponibilità di ZCB per le diverse scadenze, ci permette di calcolare i tassi spot per le diverse durate, una volta noti tali valori si può ricavare la curva continua che esprime la struttura dei tassi a termine.

Sotto l’ipotesi di assenza di opportunità di arbitraggio, in un contesto di mercato ideale, secondo cui intuitivamente è preclusa la possibilità di realizzare profitti senza che ciò comporti alcuna assunzione di rischio è possibile formulare la cosiddetta relazione di coerenza che possiamo formalizzare come segue:

\[ \begin {aligned} & r\left (t_{0}, t_{n}\right )=r\left (t_{0}, t_{h}\right ) \cdot r\left (t_{0}, t_{h}, t_{n}\right ) \quad \text { con } t_{0}<t_{h}<t_{n} \\ & \text { oppure: } \\ & v\left (t_{0}, t_{n}\right )=v\left (t_{0}, t_{h}\right ) \cdot v\left (t_{0}, t_{h}, t_{n}\right ) \quad \operatorname {con} t_{0}<t_{h}<t_{n} \end {aligned} \]

La grandezza \(\mathrm {r}\left (t_{0}, t_{h}, t_{n}\right )\) indica la somma che si riceve in \(t_{n}\), pagando 1 all’epoca \(t_{h}\) in base al contratto stipulato in \(\mathrm {t}_{0}\).

In base alla relazione vista possiamo affermare che il tasso valutato in \(t_{0}\), relativo al periodo compreso fra \(t_{h} e\) \(\mathrm {t}_{\mathrm {n}}\) sarà :

\[ i\left (t_{0}, t_{h}, t_{n}\right )=r\left (t_{0}, t_{h}, t_{n}\right )^{\frac {1}{t_{n}-t_{h}}}-1=v\left (t_{0}, t_{h}, t_{n}\right )^{-\frac {1}{t_{n}-t_{h}}}-1 \]

Tale tasso prende il nome di:

Tasso a termine o tasso forward

Da un punto di vista teorico la relazione di coerenza è la scindibilità traslata nel mercato dei capitali.

\[ \mathrm {r}\left (t_{0}, t_{n}\right )=r\left (t_{0}, t_{h}\right ) \cdot r\left (t_{0}, t_{h}, t_{n}\right ) \quad \operatorname {con} t_{0}<t_{h}<t_{n} \]

I due fattori di montante sono uguali, infatti siamo in concorrenza perfetta. Per la legge dell’unico prezzo, due prodotti finanziariamente equivalenti devono avere lo stesso prezzo. Dalla relazione di coerenza deriviamo:

\[ r\left (t_{0}, t_{h}, t_{n}\right )=\frac {r\left (t_{0}, t_{n}\right )}{r\left (t_{0}, t_{h}\right )} \]

Alcune relazioni notevoli:

\[ \begin {aligned} & r\left (t_{0}, t_{h}, t_{n}\right )=\left [1+i\left (t_{0}, t_{h}, t_{n}\right )\right ]^{\left (t_{n}-t_{h}\right )} \\ & v\left (t_{0}, t_{h}, t_{n}\right )=\frac {1}{r\left (t_{0}, t_{h}, t_{n}\right )}=\left [1+i\left (t_{0}, t_{h}, t_{n}\right )\right ]^{-\left (t_{n}-t_{h}\right )} \end {aligned} \]

I tassi forward saranno: \[ i\left (t_{0}, t_{h}, t_{n}\right )=r\left (t_{0}, t_{h}, t_{n}\right )^{1 /\left (t_{n}-t_{h}\right )}-1 \]

Il tasso istantaneo a termine sarà:

\[ h\left (t_{0}, t_{h}, t_{n}\right )=\frac {1}{t_{n}-t_{h}} \log r\left (t_{0}, t_{h}, t_{n}\right )=-\frac {1}{t_{n}-t_{h}} \log v\left (t_{0}, t_{h}, t_{n}\right ) \]

5 Struttura dei tassi piatta

• Osserviamo che nell’ipotesi in cui i tassi spot fossero uguali, si avrebbero tassi forward costanti; in questo caso si parla di struttura piatta dei tassi di interesse, la curva dei tassi a pronti è una retta orizzontale.
• Questo caso, in cui il tasso di rendimento non dipende dalla durata dell’investimento, corrisponde alla situazione in cui vi sarebbe in ogni istante, un unico ”tasso di mercato”, qualunque sia la scadenza.

6 Arbitraggio

• Violazione della relazione di coerenza:

\[ v\left (t_{0}, t_{n}\right )>v\left (t_{0}, t_{h}\right ) \cdot v\left (t_{0}, t_{h}, t_{n}\right ) \]

in questo caso si possono combinare diverse operazioni finanziarie in modo da ottenere saldi netti positivi nel seguente modo:

1) Si investe un importo pari a \(-v\left (t_{0,}t_{h}\right )v\left (t_{0,}t_{h},t_{n}\right )\) nell’operazione a pronti nel periodo \(\left (t_{0,}t_{h}\right )\), al tempo \(t_{h}\) tale importo sarà diventato \(v\left (t_{0,}t_{h},t_{n}\right )\) in quanto capitalizzato, si chiude quindi l’operazione vendendo. Tale importo viene utilizzato nell’operazione 2

2) Si investe un importo pari a \(-\;v\left (t_{0,}t_{h},t_{n}\right )\) tra i tempi \(\left (t_{h},t_{n}\right )\), nell’operazione a termine fino al tempo \(t_{n}\). Tale importo sarà capitalizzato quindi il valore sarà 1 al tempo \(t_{n}\) quando si rivende

3) si vende una quantità \(v\left (t_{0,}t_{n}\right )\) in una operazione finanziaria a pronti e la si riacquista al tempo \(t_{n}\) al valore -1.

Quindi facendo i saldi ai 3 tempi abbiamo:

\(t_{0}\) : compro (operazione 1) \(-v\left (t_{0,}t_{h}\right )v\left (t_{0,}t_{h},t_{n}\right )\) e vendo (op 3) \(v\left (t_{0,}t_{n}\right )\) \(\;\;\;\) \(\;\;\;\) \(\;\)

saldo: \(v\left (t_{0,}t_{n}\right )-v\left (t_{0,}t_{h}\right )v\left (t_{0,}t_{h},t_{n}\right )\)

\(t_{h}\): vendo l’operazione 1 al valore \(v\left (t_{0,}t_{h},t_{n}\right )\) e compro l’operazione a termini \(-\;v\left (t_{0,}t_{h},t_{n}\right )\) saldo 0

\(t_{n}\) : chiudo l’operazione 2 al valore 1 e l’operazione 3 al valore -1: saldo 0

in definitiva se \(v\left (t_{0,}t_{n}\right )>v\left (t_{0,}t_{h}\right )v\left (t_{0,}t_{h},t_{n}\right )\;\) ottengo, senza aver speso niente, un saldo positivo al tempo 0