Le Rendite

Indice

1 Introduzione

Molte operazioni finanziarie comportano la valutazione di più capitali la cui esigibilità avviene in epoche diverse; in matematica finanziaria questo insieme di capitali è denominato sinteticamente rendita. Se i capitali, detti rate della rendita, sono di importo uguale, per la determinazione della rendita utilizzeremo funzioni basate sulla somma di progressioni aritmetiche o geometriche che evitano molti calcoli ripetitivi. Se, invece, la rendita è costituita da capitali di importi diversi, per la valutazione si dovranno scontare o capitalizzare i vari capitali secondo l’epoca scelta per la valutazione. In questa modulo ci occuperemo soprattutto delle rendite a rata costante valutate nel regime dell’interesse composto, in quanto molto significative in ambito economico (finanziamenti, mutui, leasing,…), al punto che per esse sono state in passato costruite delle tavole numeriche. Oggi è sufficiente utilizzare una calcolatrice dotata della funzione esponenziale, o ancor meglio un foglio elettronico.

2 Definizioni preliminari

Una rendita è una operazione finanziaria r definita come una successione di capitali disponibili (cioè da pagare o da riscuotere) a determinate scadenze; tali capitali sono detti rate (o termini) della rendita. Esempi di rendite: le rate di affitto di un immobile pagate dal locatario; i dividendi che un azionista riceve a scadenze fissate; le rate di un mutuo contratto per l’acquisto di un bene; lo stipendio che riceve il lavoratore dipendente; le quote mensili versate per la sottoscrizione di un fondo comune di investimento; Le rendite possono essere classificate secondo più criteri, per cui una rendita è ben definita quando, oltre a conoscerne i dati numerici, sono note esattamente le sue caratteristiche.

– Periodicità della rata: Rendita annua, Rendita frazionata, Rendita poliennale – Differimento, o meno, della prima rata: Rendita posticipata, Rendita anticipata – Differimento di t anni della prima rata: Rendita immediata, Rendita differita – Durata della rendita: Rendita temporanea, Rendita perpetua

Analizziamo i criteri separatamente: innanzitutto considereremo le rendite annue (rate con periodicità annuale). Dopo tratteremo quelle frazionate (periodicità = frazione d’anno). Infine, le rendite poliennali riguardano il caso in cui l’intervallo temporale tra le rate è maggiore di un anno.

Per convenzione \(t_0\) rappresenta la data dell’inizio della rendita e \(t_1\) la data di pagamento della prima rata. Se \(t_0 = t_1-1\) allora la rendita si dice posticipata; se \(t_0=t_1\) allora la rendita si dice anticipata.

La rendita si dice immediata se \(t_0=0\), differita di t anni se \(t_0=t\).

Il quarto criterio è riferito al numero n delle rate. La rendita si dice temporanea se il numero n è finito; la rendita si dice perpetua se il numero delle rate è infinito. Un problema fondamentale che si presenta è quello di valutare una rendita, cioè quello di determinare un capitale unico equivalente a tutte le rate in un prefissato regime finanziario ad un certo tasso. L’importo di tale capitale è detto valore della rendita e dipende dall’epoca in cui si fa la valutazione. Le valutazioni più importanti sono:

– il valore attuale di una rendita se la valutazione è fatta in un’epoca che precede tutte le scadenze delle rate o coincide con la prima – il montante di una rendita se la valutazione è fatta in un’epoca successiva a tutte le scadenze delle rate o coincidente con l’ultima.

3 Rendita (immediata) posticipata di durata \(n\)

Una rendita immediata posticipata annua di durata \(n\) è una rendita r tale che:

• \(\mathrm {t}_{0}=0\)
• \(\mathrm {t}_{1}=\mathrm {t}_{0}+1\)
• \(x_{h}=\mathrm {R} \quad \) per ogni \(h=1,2, \ldots , n\);
• \(t_{h}=k \quad \) per ogni \(h=1,2, \ldots , n\);

Valutandola secondo la legge esponenziale al tasso \(i\), il suo valore attuale è:

\[ A=\sum _{h=1}^{n} x_{h} \cdot (1+i)^{-h}=\sum _{h=1}^{n} x_{h} \cdot v^{h}=R \cdot \sum _{h=1}^{n} v^{h} \]

cioè la somma dei valori attuali di ogni rata. Tale sommatoria è composta da \(n\) termini in progressione geometrica di ragione \(v\).

Si può dimostrare, tramite semplici passaggi algebrici, che:

\[ \sum _{h=1}^{n} v^{h}=v \frac {1-v^{n}}{1-v}=a_{\bar {n} i} \]

Il simbolo appena introdotto si legge “a figurato \(n\) al tasso \(i\) “, e per la definizione del fattore di sconto \(v\), si ha:

\[ a_{\bar {n} \mid i}=\frac {1-(1+i)^{-n}}{i} \quad ; \quad A=R \cdot a_{\bar {n} \mid i} \]

Per calcolare il montante le rate saranno capitalizzate. La prima è capitalizzata per \(\mathrm {n}-1\) anni, la seconda per \(\mathrm {n}-2\) anni,…, l’ultima è pagata nell’istante scelto per il calcolo del valore del capitale:

\[ S=R \cdot (1+i)^{n-1}+R \cdot (1+i)^{n-2}+\ldots +R \cdot (1+i)+R \]

La lettera \(S\) per convenzione indica che si tratta di un montante. Ricordiamo che il fattore di capitalizzazione è \(r=(1+\mathrm {i})^{\mathrm {t}}\).

Se consideriamo il montante di una rendita di rata \(\mathrm {R}=1\) :

\[ s_{\bar {n} \mid i}=(1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+\ldots +(1+i)+1 \]

Si tratta della somma di \(n\) termini in progressione geometrica di ragione \((1+\mathrm {i})\) che ha come primo termine uno:

\[ s_{\bar {n} \mid i}=\frac {r^{n}-1}{i}=\frac {(1+i)^{n}-1}{i} \]

\(\rightarrow \) rappresenta la formula compatta del montante di

una rendita unitaria, tale simbolo si legge “s figurato \(n\) al tasso \(i^{\prime \prime }\).

Il montante della rendita a rata costante sarà quindi:

\[ S=R \cdot S_{\bar {n} \mid i} \]

Esempio.

Sia una rendita immediata posticipata con \(n=4, R=5\)

euro, calcoliamo il valore attuale nei seguenti casi:

• \(i=4 \%\);
• \(i=3 \%\);

\[ \begin {aligned} & A(4 \%)=5 \cdot \sum _{h=1}^{4} 1,04^{-h}=5 \frac {1-1,04^{-4}}{0,04}=5 a_{\left .4\right |_{0,04}}=18,1495 \\ & A(3 \%)=5 \cdot \sum _{h=1}^{4} 1,03^{-h}=5 \frac {1-1,03^{-4}}{0,03}=5 a_{\left .4\right |_{0,03}}=18,5855 \end {aligned} \]

Esempio: calcoliamo ora il montante di una rendita con rata \(R=35 ; n=5 ; i=12 \%\).

\[ S=35 \cdot s_{51 i}=35 \cdot \frac {(1+0,12)^{5}-1}{0,12}=222,3497 \]

Si ottiene lo stesso risultato calcolando il montante direttamente, ossia sommando i montanti di ciascuna rata

4 Rendita perpetua posticipata

Consideriamo una rendita perpetua, ossia formata da un numero illimitato di rate. Non è facile trovare esempi di rendite perpetue; tuttavia in passato sono stati emessi Buoni fruttiferi irredimibili, cioè titoli di Stato che, a fronte della mancanza di restituzione del capitale, fornivano una rendita perpetua di cedole.

Il valore attuale di una rendita unitaria perpetua posticipata (“a figurato infinito al tasso \(i^{\prime \prime }\) ), si ottiene calcolando il limite, per \(n \rightarrow \infty \), del valore attuale di una rendita temporanea:

\[ a_{\infty 1 i}=\lim _{n \rightarrow \infty } a_{\bar {n} i}=\lim _{n \rightarrow \infty } \frac {1-v^{n}}{i}=\frac {1}{i} \]

essendo \(v<1\). In tal modo il valore attuale di una rendita perpetua \(\mathbf {r}\) con rata \(R\) costante è:

\[ A=\frac {R}{i} \]

5 Rendita (immediata) anticipata di durata \(n\)

Analogamente a quanto visto prima, una rendita immediata anticipata annua di durata \(n\) è una rendita \(\mathbf {r}\) in cui:

• \(t_{0}=0\)
• \(t_{1}=t_{0}\) (unica differenza rispetto al caso posticipato);
• \(x_{h}=R\)
• \(t_{h}=h-1\) per ogni \(h=1,2, \ldots , n\); per ogni \(h=1,2, \ldots , n\).

Valutandola secondo la legge esponenziale al tasso \(i\), il suo valore attuale è:

\[ A=\sum _{h=1}^{n} x_{h} \cdot (1+i)^{-(h-1)}=\sum _{h=1}^{n} x_{h} \cdot v^{h-1}=R \cdot \sum _{h=1}^{n} v^{h-1}=\frac {R}{v} \cdot \sum _{h=1}^{n} v^{h} \]

cioè la somma dei valori attuali di ogni rata al tempo \(t_{0}\).

La rendita unitaria immediata anticipata è:

\[ \ddot {a}_{\bar {n} \mid i}=\frac {1-v^{n}}{d}=(1+i) \cdot a_{\bar {n} \mid i} \]

si legge “a anticipato figurato \(\boldsymbol {n}\) al tasso \(i\) “, il valore attuale della rendita temporanea immediata anticipata è:

\[ A=R \cdot \ddot {a}_{\bar {n} \mid i} \]

Come già detto nel caso posticipato, i valori di “a anticipato” si possono calcolare direttamente con la funzione esponenziale, si possono reperire sulle tavole finanziarie oppure si possono calcolare mediante la funzione Excel

VA(tasso_int;periodi;pagam;val_futuro;tipo)

descritta precedentemente.

Il montante di una rendita anticipata è la somma dei montanti di ciascuna rata al tempo \(\mathrm {t}_{\mathrm {n}}\).

\[ S=R \cdot r^{n}+R \cdot r^{n-1}+R \cdot r^{n-2}+\cdots +R \cdot r \]

Definiamo ora la formula compatta del montante della rendita unitaria anticipata:

\[ \ddot {s}_{\bar {n} \mid i}=\frac {(1+i)^{n}-1}{d}=(1+i) \cdot s_{\bar {n} \mid i} \]

Il montante della rendita temporanea immediata anticipata è

\[ S=R \cdot \ddot {s}_{\bar {n}} i \]

Ad esempio calcoliamo il valore attuale di una rendita costituita da 5 rate annue di 100 euro ciascuna, valutata al tasso \(i=2,5 \%\) ed al tasso \(i=3,5 \%\).

\[ \begin {gathered} A=100 \cdot (1+i) \cdot \frac {1-v^{n}}{i}=100 \cdot 1,025 \cdot \frac {1-1,025^{-5}}{0,025}=100 \ddot {a}_{50,025}=476,1974 \\ A=100 \cdot (1+i) \cdot \frac {1-v^{n}}{i}=100 \cdot 1,035 \cdot \frac {1-1,035^{-5}}{0,035}=100 \ddot {a}_{50,035}=467,3079 \end {gathered} \]

I calcoli, anche qui, si possono fare sia con le tavole finanziarie, sia con l’uso del calcolo esponenziale, che con l’uso di Excel.

6 Rendita perpetua anticipata

Il valore attuale di una rendita perpetua anticipata a rate costanti è uguale alla somma della rata \(R\) col valore attuale della stessa rendita, però posticipata:

\[ A=R+\frac {R}{i} \]

Infatti, considerando la rendita perpetua anticipata unitaria, il valore attuale è:

\[ \ddot {a}_{\infty i}=(1+i) \cdot \frac {1}{i}=\frac {1}{i}+1=a_{\varnothing i}+1 \]

dal momento che la rendita perpetua anticipata è pari a quella posticipata, capitalizzata per un anno, cioè capitalizzata secondo il fattore \((1+i)\).

Ad esempio, volendo valutare al tasso \(i=3 \%\) una rendita perpetua anticipata di rata \(R=12\) euro, si ha:

\[ A=12+\frac {12}{0,03}=12+400=412 \]

7 Rendita differita di t anni

Può capitare che l’inizio della rendita, inteso come il tempo \(t_{0}\) in cui viene pagata la prima rata, sia differito di \(t\) anni. In tal caso il calcolo del valore attuale secondo una legge di capitalizzazione assegnata è molto

semplice: basta scontare secondo un fattore \(\mathrm {v}^{\mathrm {t}}\) il valore attuale della rendita immediata corrispondente a quella data. Riepiloghiamo ora le rendite già viste, nell’ipotesi di un differimento di \(t\) anni della prima rata:

a) rendita temporanea differita posticipata.

\(\mathrm {t}_{0}=\mathrm {t}\)

\(\mathrm {t}_{1}=\mathrm {t}+1\)

\(t_{h}=t+h(h=1, \ldots , n) ;\)

Il suo valore attuale è:

\[ A=R \cdot v^{t+1}+R \cdot v^{t+2}+\cdots +R \cdot v^{t+n}=R \cdot v^{t} \cdot a_{\bar {n} \mid i} \]

Nelle tavole finanziarie si trova il simbolo

\[ { }_{t} a_{\bar {n} \mid i}=v^{t} \cdot a_{\bar {n} \mid i} \]

che si legge “a figurato \(n\) al tasso i differito \(t\) “. Il valore attuale prende la seguente forma:

\[ A=R \cdot { }_{t} / a_{\bar {n} \backslash i} \]

e si può dimostrare che vale la seguente relazione:

\[ { }_{t} / a_{\bar {n} \mid i}=a_{\overline {t+n} \mid i}-a_{\bar {t} i} \]

Quest’ultima esprime che una rendita di durata \(n\) differita di \(t\) anni, equivale ad una rendita immediata di durata \(t+n\) privata delle prime \(t\) rate (che equivalgono ad una rendita immediata di durata \(t\) ).

b) rendita temporanea differita anticipata.

\(\mathrm {t}_{0}=\mathrm {t}_{1}=\mathrm {t}\);

\(\mathrm {t}_{2}=\mathrm {t}+1\)

\(t_{h}=t+h-1(h=1, \ldots , n)\)

Il valore attuale è:

\[ A=R \cdot v^{t}+R \cdot v^{t+1}+\cdots +R \cdot v^{t+n-1}=R \cdot v^{t} \cdot \ddot {a}_{\bar {n}} i \]

Nelle tavole finanziarie si trova il simbolo

\[ { }_{t /} a_{\bar {n} \mid i}=v^{t} \cdot \ddot {a}_{\bar {n} i} \]

che si legge “a anticipato, figurato \(n\) al tasso i differito \(t^{\prime \prime }\). Il valore attuale assume la seguente forma:

\[ A=R \cdot { }_{t /}^{\ddot {a}} a_{\bar {n} i} \]

8 Rendite frazionate

Prendiamo ora in considerazione il caso delle rendite frazionate, ed in particolare quello in cui la distanza temporale tra le rate è pari ad \(1 / \mathrm {m}\) di anno.

Supponendo una rendita posticipata \(r_{m}\), essa sarà costituita da rate costanti \(\mathrm {R}^{\prime }=\mathrm {R} / \mathrm {m}\), di durata \(m \cdot n\) e periodicità \(1 / \mathrm {m}\). Lo studio di essa si riconduce al caso di una rendita annua, dopo aver posto:

\[ \begin {aligned} & i_{1 / m}=(1+i)^{1 / m}-1 \\ & d_{1 / m} \\ & =1-(1-d)^{1 / m} \\ & \delta _{1 / m}=\frac {\delta }{m} \end {aligned} \]

Il valore attuale, considerando la nuova scala temporale, è:

\[ A=R^{\prime } \cdot a_{\overline {m \cdot n l} i_{1 / m}} ; \quad a_{\overline {m \cdot n} i_{1 / m}}=\frac {1-\left (1+i_{1 / m}\right )^{-m \cdot n}}{i_{1 / m}} \]

Si può anche esprimere il valore attuale della rendita frazionata mediante l’uso dei valori della corrispondente rendita annua:

\[ A=\frac {R}{m} \cdot \frac {1-v^{n}}{i_{1 / m}}=R \cdot \frac {1-v^{n}}{j(m)} \]

Il valore attuale di una rendita frazionata di rata annua unitaria è:

\[ a_{\bar {n} \mid i}^{(m)}=\frac {1-v^{n}}{j(m)} \]

Ad esempio calcoliamo il valore attuale di una rendita posticipata di durata quinquennale e rata annua \(\mathrm {R}=48\) euro pagabile mensilmente, valutata al tasso \(i=3 \%\).

Prima di procedere al calcolo dobbiamo “tradurre” i dati per la rendita \(r_{12}\) :

\(R^{\prime }=R / 12=4\) euro,

\(m \cdot n=12 \cdot 5=60\),

\(\mathrm {i}_{1 / 12}=(1+0,03)^{1 / 12}-1=0,002466\)

\[ A=48 \cdot \frac {1-(1+0,03)^{-5}}{12 \cdot 0,002466}=222,832 \]

Si può arrivare allo stesso risultato:

\[ A=R^{\prime } \cdot a_{\overline {m \cdot n} i_{1 / m}}=4 \cdot \frac {1-(1+0,002466)^{-60}}{0,002466}=222,832 \]

Analogamente possiamo pervenire al calcolo del montante:

\[ S=R^{\prime } \cdot s_{\bar {m} \cdot n \mid i_{1 / m}} ; \quad s_{\bar {m} \cdot n i_{i_{1 / m}}}=\frac {\left (1+i_{1 / m}\right )^{m \cdot n}-1}{i_{1 / m}} \]

La formula del montante di una rendita unitaria

frazionata in m-esimi di anno (esprimendo il tempo in anni) è:

\[ s_{\bar {n} \mid i}^{(m)}=\frac {(1+i)^{n}-1}{j(m)} \]

Il montante di una rendita a rata costante è:

\[ S=R \cdot s_{\bar {n} \mid i}^{(m)} \]