Funzioni

Indice

1 Funzioni

Dati due insiemi \(A\) e \(B\) definiamo funzione da \(A\) in \(B\) una qualunque applicazione che faccia corrispondere ad ogni elemento di \(A\) uno ed un solo elemento di \(B\). Come si vede, anche la definizione di funzione viene data attraverso un suo sinonimo ”applicazione”. Infatti, nella definizione appena data ciò che differenzia le funzioni da qualunque altra applicazione sta nel far corrispondere ad elementi dell’insieme \(A\) uno ed un solo elemento dell’insieme \(B\).

Chiamiamo l’insieme A dominio della funzione e l’insieme \(B\) codominio. Se \(x\) è un elemento dell’insieme \(A\) e y è l’unico elemento di \(B\) che corrisponde ad \(A\), si dice che \(y\) è funzione di \(x\) e si scrive \(y=f(x)\) (leggi: ” y uguale a effe di x” ) oppure diremo che \(y\) è immagine di \(x\) attraverso la funzione \(f\). Per quanto riguarda il seguito considereremo\(A\subseteq \mathbb {R}\) e \(B\subseteq \mathbb {R}\). In tal caso le funzioni vengono dette ”funzioni reali di variabili reali”.

Si noti, inoltre, che per definire una funzione non è sufficiente assegnare la regola di calcolo (applicazione), occorre anche fissare il dominio e il codominio.

Normalmente viene utilizzata la seguente notazione:

\[f: x\in A \rightarrow y\in B \]

spesso si usa la notazione più compatta:

\[x \mapsto f(x).\]

se gli insiemi \(A\) e \(B\) sono già stati precisati o sono chiari dal contesto. Si può anche scrivere più semplicemente \(y=f(x)\).

Esempio. Consideriamo la funzione che a ogni numero reale \(x\) fa corrispondere il suo doppio. In questo caso possiamo scrivere

\[f: x\in \mathbb {R} \rightarrow 2x\in \mathbb {R}\]

o anche

\[x \mapsto 2x\]

ancora

\[y=2x\] quest’ultima notazione sarà quella più utilizzata nel seguito.

In generale, il codominio \(B\) della funzione \(f\) non è formato dalle sole immagini \(y=f(x)\). Possiamo quindi definire il sottoinsieme del codominio costituito da tutte le immagini del dominio

\[I \subseteq B=\{y \in B \text { tale che } \exists x \in A, y=f(x)\},\]

che va letto come l’insieme delle \(y\) di \(B\) tali che esiste almeno un \(x\) di \(A\), la cui immagine sia \(y\). L’insieme \(I\) si chiama insieme immagine. L’insieme immagine si indica anche con \(f(A)\), proprio a significare il fatto che si tratta dell’insieme delle immagini di tutte le \(x\) di \(A\). Se \(C\) è un sottoinsieme di \(A\), si può considerare l’insieme delle immagini di tutte le \(x\) di \(C\) (che sarà naturalmente un sottoinsieme dell’insieme immagine). Questo insieme si indica con \(f(C)\), in questo caso l’insieme \(C\) è detto anche insieme controimmagine.

Si possono usare diversi tipi di rappresentazioni per le funzioni. Vediamone alcuni.

1.1 Rappresentazione tabellare

Consideriamo l’esempio precedente e cioè la funzione che ad ogni \(x\in \mathbb {R} \) associa il suo doppio \(y=2x\). Prendiamo come dominio solo i numeri naturali da 1 a 5, l’insieme delle immagini sarà dato quindi dall’insieme \(I = \{2,4,6,8,10\}\). La rappresentazione tabella di questa funzione avrà la forma seguente:

1.2 Rappresentazione attraverso grafici nel piano cartesiano

La rappresentazione più conveniente nel caso delle funzioni tra due insiemi di numeri reali è però quella grafici cartesiani, in particolare nel caso in cui gli insiemi siano infiniti quando la rappresentazione precedente non sono utilizzabili. L’idea è di considerare un piano in cui si sia fissato un sistema di coordinate cartesiane \(Oxy\) e rappresentarvi tutte le coppie \((x, y)\) in cui \(x\) è un punto (numero) del dominio della funzione e \(y=f(x)\) è il corrispondente valore nel codominio della funzione. Riprendendo in esame l’esempio proposto nella tabella, dobbiamo rappresentare i punti

\[ A=(1,2), B=(2,4), C=(3,6), D=(4,8), E=(5,10) \text {, } \]

ottenendo il grafico che segue: grafico

In generale, il grafico di una funzione è definito come il sottoinsieme del piano dato da tutti i punti con coordinate \(x,f(x)\) e quindi: \[G_f = \{(x,y) \in \mathbb {R}\times \mathbb {R} \text { tali che } y = f(x)\}\]

che quindi contiene infiniti punti. Chiaramente non è possibile rappresentare in un grafico tutte le coppie \((x, y)=(x, f(x))\) che visualizzano l’andamento della funzione, tuttavia si possono rappresentare alcuni punti che saranno sufficienti a rendere evidenti quasi tutte le proprietà della funzione che saranno di interesse.

2 Operazioni sulle funzioni

Di seguito il dominio delle funzioni è un sottoinsieme \(A\) di \(\mathbb {R}\), mentre il codominio è sempre \(\mathbb {R}\).

Date due funzioni \(f\) e \(g\), esse si possono sempre sommare, sottrarre e moltiplicare; se la seconda è sempre diversa da zero, si possono anche dividere.

Con opportune condizioni due funzioni \(f\) e \(g\) si possono anche comporre, cioè farle agire in successione: il risultato della prima lo usiamo come argomento per la seconda, ottenendo alla fine il risultato voluto. Per poter fare la composizione si deve naturalmente richiedere che l’insieme immagine della prima sia contenuto nel dominio della seconda, visto che l’output della prima deve essere usato come input per la seconda.

In termini matematici:

• Somma \(\quad (f+g)(x)=f(x)+g(x)\)
• Differenza \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)
• Prodotto \((f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x)\)
• Quoziente \((f: g)(x)=f(x): g(x)\) \(\rightarrow \) condizione: denominatore non nullo

• Composizione: sia \(A \stackrel {f}{\longrightarrow } B \stackrel {g}{\longrightarrow } C\)

  \[ x \mapsto f(x) \mapsto g(f(x)) \]

  poniamo \((g \circ f)(x)=g(f(x))\)

Esempio

\(f(x)=x+1\)
\(g(x)=x^{2}\)

\(x \stackrel {f}{\longrightarrow } x+1 \stackrel {g}{\longrightarrow }(x+1)^{2}\)
quindi: \((g \circ f)(x)=(x+1)^{2}\)

Mentre \(x \stackrel {g}{\longrightarrow } x^2 \stackrel {f}{\longrightarrow }x^2+1\)
quindi: \((f \circ g)(x)=x^2+1 \neq (x+1)^{2}\)

più in generale risulta che l’operazione di composizione tra funzioni è un’operazione non commutativa:

\[(g \circ f)(x)=g(f(x)) \neq (f \circ g)(x)=f(g(x))\]

3 Funzioni iniettive, suriettive, biiettive

Una funzione \(f: A \rightarrow B\) si dice iniettiva se due punti diversi del dominio \(P_{1}\) e \(P_{2}\) hanno immagini diverse; una funzione si dice suriettiva se ogni punto del codominio è immagine di almeno un punto del dominio, ovvero se l’insieme immagine coincide con il codominio; una funzione che sia contemporaneamente iniettiva e suriettiva si dice biiettiva o biunivoca.

Funzione iniettiva \[a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b)\,\,\,\, \forall a, b \in A\]

Funzione suriettiva \[\forall b \in B\,\,\,\, \exists a \in A: f(a)=b\]

Esempi

• Le funzioni \(\mathrm {e}^{x}, \ln x, x^{3}, \sqrt {x}\) sono tutte funzioni iniettive.
• Le funzioni, aventi come codominio \(\mathbb {R}, \ln x\) e \(x^{3}\) sono funzioni suriettive. Anche le funzioni \(\mathrm {e}^{x}\) e \(\sqrt {x}\) possono diventare suriettive se ”restringiamo” il codominio rispettivamente agli \(y>0\) e agli \(y \geq 0\).
• La funzione, di \(\mathbb {R}\) in \(\mathbb {R}, x^{3}\) è iniettiva e suriettiva, dunque biunivoca.
• La funzione \(x^{2}\) non è iniettiva: i punti \(-1\) e 1 , per esempio, pur essendo diversi hanno la stessa immagine.

4 Insieme di definizione

Nel dare la definizione di funzione abbiamo detto che per assegnare una funzione occorre assegnare un dominio, un codominio, e una legge che associ a ciascun punto del dominio un punto (e uno solo) del codominio. Definiamo insieme di definizione di una funzione il più grande sottoinsieme (di \(\mathbb {R}\) in cui le operazioni da eseguire sulla variabile hanno senso. In generale il dominio sarà un sottoinsieme (anche improprio) dell’insieme di definizione della funzione.

Esempi

Per trovare l’insieme di definizione di \(f(x)=\sqrt {x-1}+\ln (2-x)\), bisogna imporre le seguenti condizioni

\[\begin {cases} x-1 \geq 0 \\ 2-x>0 \end {cases}\] che devono essere soddisfatte contemporaneamente.

5 Caratteristiche delle funzioni

come in precedente consideriamo sempre una funzione \(f : A \rightarrow B\) con \(A,B \subset \mathbb {R}\):

• si dice positiva in \(P\subset A\) se \(f(x)>0 \forall x\in P\)
• ha intersezione con l’asse delle ordinate se e soltanto se \(0\in A\). Il punto di intersezione sarà il punto con coordinate \((0;f(0))\). Da notare che al più può esistere un solo punto di intersezione con l’asse delle ordinate.
• ha intersezione con l’asse delle ascisse se e soltanto se esiste almeno una soluzione dell’equazione \(f(x) = 0\). In tal caso i punti di intersezione, che possono essere anche più di uno, avranno coordinate \((x_0;0)\).
• si dice pari se è simmetria rispetto all’asse delle ordinate e quindi: \( f(-x)=f(x) \)
• si dice dispari se è simmetrica rispetto all’origine e quindi: \( f(-x)=-f(x) \)

Esempi

Funzione pari: \(y=f(x)=x^{2}\) infatti \(f(3)=f(-3)=9\)

Funzione dispari: \(y=f(x)=x^{3}\) infatti \(f(2)=-f(-2)=8\)

\(y=f(x)=x^{2}+x^{3}\) \(\rightarrow \) nè pari nè dispari

5.1 Crescenza e decrescenza

Una funzione \(f(x)\), definita in un sottoinsieme \(A \subseteq \mathbb {R}\) si dice crescente se, presi comunque \(x_{1}\), \(x_{2}\) nel dominio, con \(x_{1}<x_{2}\) allora \(f\left (x_{1}\right ) \leq f\left (x_{2}\right )\) (se invece di \(\leq \) si ha \(<\), si dice strettamente crescente), quindi: \[ \forall x_{1}, x_{2} \in A, x_{1}<x_{2} \Rightarrow f\left (x_{1}\right )\leq (<) f\left (x_{2}\right ) \]

la funzione si dice invece decrescente se, presi comunque \(x_{1}, x_{2}\) nel dominio, con \(x_{1}<x_{2}\) allora \(f\left (x_{1}\right ) \geq f\left (x_{2}\right )\) (se invece di \(\geq \) si \(h a>\), si dice strettamente decrescente), quindi:

\[\forall x_{1}, x_{2} \in A, x_{1}<x_{2} \Rightarrow f\left (x_{1}\right )\geq (>) f\left (x_{2}\right ) \]

In pratica una funzione è crescente se al crescere di \(x\) cresce anche il corrispondente valore di \(y=f(x)\), decrescente in caso contrario, cioè al crescere di \(x\) decresce il corrispondente valore di \(y=f(x)\).

Le funzioni \(\mathrm {e}^{x}, \ln x, \sqrt {x}\) sono tutte crescenti (strettamente); la funzione \(\mathrm {e}^{-x}\) è decrescente (strettamente); la funzione \(x^{2}\) non è né crescente né decrescente (in \(\mathbb {R}\)).

Se una funzione non è né crescente né decrescente, può succedere che sia crescente o decrescente a tratti. Per esempio la funzione \(x^{2}\) è decrescente per \(x<0\), crescente per \(x>0\). Le funzioni crescenti o decrescenti in tutto il loro dominio si dicono monotone.

5.2 Funzioni limitate

Una funzione \(f\) di una si dice limitata se il suo insieme immagine è limitato, illimitata se tale è il suo insieme immagine. Si usano anche gli aggettivi superiormente e inferiormente, esattamente come per i sottoinsiemi di \(\mathbb {R}\).

Il massimo e il minimo dell’insieme immagine di una funzione, se esistono, si chiamano rispettivamente massimo assoluto e minimo assoluto della funzione. L’estremo superiore e inferiore dell’insieme immagine di una funzione (che esistono sempre, eventualmente infiniti), si chiamano estremo superiore e inferiore della funzione. Spesso l’aggettivo assoluto si tralascia. La ricerca del massimo e del minimo assoluto di una funzione (se esistenti) è una delle più importanti applicazioni dell’analisi (problemi di ottimizzazione).

Il punto in corrispondenza del quali la funzione assume il suo massimo (minimo) si chiama punto di massimo assoluto (punto di minimo assoluto).

Un punto \(P\) del dominio di una funzione si chiama punto di massimo relativo se \(\exists I(P)\) tale che, per ogni punto \(q \in I(P)\), si abbia \(f(q) \leq f(P)\); il punto si chiama punto di minimo relativo se, nelle stesse condizioni, si ha invece \(f(q) \geq f(P)\). Il valore \(f(P)\) si chiama massimo relativo o minimo relativo rispettivamente. Mentre il massimo (assoluto) e il minimo (assoluto), se esistono, sono unici, i massimi e minimi relativi possono essere più d’uno (anche infiniti).

5.3 Concavità e convessità

Una funzione \(f\) si dice strettamente convessa in un intervallo \(I\) (compreso nel proprio dominio) se:

\[\forall x_{1}, x_{2} \in I \Rightarrow f\left (tx_{1}+(1-t)x_{2}\right )<tf\left (x_{1}\right )+(1-t)f\left (x_{2}\right )\]

strettamente concava se:

\[\forall x_{1}, x_{2} \in I \Rightarrow f\left (t*x_{1}+(1-t)*x_{2}\right )>t*f\left (x_{1}\right )+(1-t)*f\left (x_{2}\right )\]

\(\forall t\in [0,1]\) quindi: una funzione è strettamente convessa (concava) in un intervallo I se presi comunque due punti \(x_{1}\) e \(x_{2}\) di I e considerato il segmento di estremi \(P_{1}=\left (x_{1}, f\left (x_{1}\right )\right )\) e \(P_{2}=\left (x_{2}, f\left (x_{2}\right )\right )\), la parte del grafico di \(f\) corrispondente all’intervallo \(\left [x_{1}, x_{2}\right ]\) sta tutta al di sotto di questo segmento.

Una funzione \(f\) è strettamente convessa (concava) in un punto \(c\) del suo dominio se esiste un intorno del punto contenuto nel suo dominio nel quale la funzione è strettamente convessa (concava). Una funzione è strettamente concava (convessa) se lo è in ogni punto del suo dominio. Se poniamo nelle definizioni precedenti:

\[\forall x_{1}, x_{2} \in I \Rightarrow f\left (t*x_{1}+(1-t)*x_{2}\right )\leq (\geq )t*f\left (x_{1}\right )+(1-t)*f\left (x_{2}\right )\]

si ottiene una funzione convessa (o concava) ma non in senso stretto. La funzione potrebbe risultare costante a tratti.

La funzione \(y=f(x)\) possiede un flesso nel punto \(x=c\) del suo dominio se esiste un intorno completo del punto nel quale avviene un cambiamento di concavità (ossia la funzione è concava nell’intorno sinistro e convessa nell’intorno destro o viceversa).