Indice
1.1 Rappresentazione tabellare
1.2 Rappresentazione attraverso grafici nel piano cartesiano
2 Operazioni sulle funzioni
3 Funzioni iniettive, suriettive, biiettive
4 Insieme di definizione
5 Caratteristiche delle funzioni
5.1 Crescenza e decrescenza
5.2 Funzioni limitate
5.3 Concavità e convessità
1 Funzioni
Dati due insiemi
Chiamiamo l’insieme A dominio della funzione e l’insieme
Si noti, inoltre, che per definire una funzione non è sufficiente assegnare la regola di calcolo (applicazione), occorre anche fissare il dominio e il codominio.
Normalmente viene utilizzata la seguente notazione:
spesso si usa la notazione più compatta:
se gli insiemi
Esempio. Consideriamo la funzione che a ogni numero reale
o anche
ancora
In generale, il codominio
che va letto come l’insieme delle
Si possono usare diversi tipi di rappresentazioni per le funzioni. Vediamone alcuni.
1.1 Rappresentazione tabellare
Consideriamo l’esempio precedente e cioè la funzione che ad ogni
1 | 2 |
2 | 4 |
3 | 6 |
4 | 8 |
5 | 10 |
1.2 Rappresentazione attraverso grafici nel piano cartesiano
La rappresentazione più conveniente nel caso delle funzioni tra due insiemi di numeri reali è però quella grafici cartesiani, in particolare nel caso in cui gli insiemi siano infiniti quando la rappresentazione precedente non sono utilizzabili. L’idea è di considerare un piano in cui si sia fissato un sistema di coordinate cartesiane
ottenendo il grafico che segue: grafico
In generale, il grafico di una funzione è definito come il sottoinsieme del piano dato da tutti i punti con coordinate
che quindi contiene infiniti punti. Chiaramente non è possibile rappresentare in un grafico tutte le coppie
2 Operazioni sulle funzioni
Di seguito il dominio delle funzioni è un sottoinsieme
Date due funzioni
Con opportune condizioni due funzioni
In termini matematici:
- Somma
- Differenza
- Prodotto
- Quoziente
condizione: denominatore non nullo -
Composizione: sia
poniamo
Esempio
quindi:
Mentre
quindi:
più in generale risulta che l’operazione di composizione tra funzioni è un’operazione non commutativa:
3 Funzioni iniettive, suriettive, biiettive
Una funzione
Funzione iniettiva
Funzione suriettiva
Esempi
- Le funzioni
sono tutte funzioni iniettive. - Le funzioni, aventi come codominio
e sono funzioni suriettive. Anche le funzioni e possono diventare suriettive se ”restringiamo” il codominio rispettivamente agli e agli . - La funzione, di
in è iniettiva e suriettiva, dunque biunivoca. - La funzione
non è iniettiva: i punti e 1 , per esempio, pur essendo diversi hanno la stessa immagine.
4 Insieme di definizione
Nel dare la definizione di funzione abbiamo detto che per assegnare una funzione occorre assegnare un dominio, un codominio, e una legge che associ a ciascun punto del dominio un punto (e uno solo) del codominio. Definiamo insieme di definizione di una funzione il più grande sottoinsieme (di
Esempi
Per trovare l’insieme di definizione di
5 Caratteristiche delle funzioni
come in precedente consideriamo sempre una funzione
- si dice positiva in
se - ha intersezione con l’asse delle ordinate se e soltanto se
. Il punto di intersezione sarà il punto con coordinate . Da notare che al più può esistere un solo punto di intersezione con l’asse delle ordinate. - ha intersezione con l’asse delle ascisse se e soltanto se esiste almeno una soluzione dell’equazione
. In tal caso i punti di intersezione, che possono essere anche più di uno, avranno coordinate . - si dice pari se è simmetria rispetto all’asse delle ordinate e quindi:
- si dice dispari se è simmetrica rispetto all’origine e quindi:
Esempi
Funzione pari:
Funzione dispari:
5.1 Crescenza e decrescenza
Una funzione
la funzione si dice invece decrescente se, presi comunque
In pratica una funzione è crescente se al crescere di
Le funzioni
Se una funzione non è né crescente né decrescente, può succedere che sia crescente o decrescente a tratti. Per esempio la funzione
5.2 Funzioni limitate
Una funzione
Il massimo e il minimo dell’insieme immagine di una funzione, se esistono, si chiamano rispettivamente massimo assoluto e minimo assoluto della funzione. L’estremo superiore e inferiore dell’insieme immagine di una funzione (che esistono sempre, eventualmente infiniti), si chiamano estremo superiore e inferiore della funzione. Spesso l’aggettivo assoluto si tralascia. La ricerca del massimo e del minimo assoluto di una funzione (se esistenti) è una delle più importanti applicazioni dell’analisi (problemi di ottimizzazione).
Il punto in corrispondenza del quali la funzione assume il suo massimo (minimo) si chiama punto di massimo assoluto (punto di minimo assoluto).
Un punto
5.3 Concavità e convessità
Una funzione
strettamente concava se:
Una funzione
si ottiene una funzione convessa (o concava) ma non in senso stretto. La funzione potrebbe risultare costante a tratti.
La funzione