I tassi e la forza d’interesse

Indice

1 I tassi e la forza d’interesse

1.1 Tassi equivalenti

Le leggi di capitalizzazione valgono sia se il tasso è annuo, sia se il tasso è relativo ad un periodo temporale pari ad una frazione di anno, purché il tempo sia calcolato assumendo come unità di misura il periodo di capitalizzazione.

Due tassi sono equivalenti in un prefissato regime di capitalizzazione se, applicati a capitali uguali per la stessa durata, producono montanti uguali.

1.1.1 Regime finanziario dell’interesse semplice.

L’equivalenza dei tassi può essere studiata in tutti i regimi finanziari.

Consideriamo il regime finanziario dell’interesse semplice: \(\mathbf {r}(\mathbf {t})=\mathbf {1}+\mathbf {i} \cdot \mathbf {t}\).

Se esprimiamo il tempo in anni, per il tasso effettivo annuo scriviamo

\[i(t)=i t \]

Poiché un semestre è uguale a \(1 / 2\) di anno il tasso semestrale equivalente risulta

\[i_{1 / 2}=i(1 / 2)=\frac {1}{2} i\]

In generale il tasso periodale \(i_{1 / m}\) ( \(m\) rappresenta le frazioni di anno) è legato al tasso annuo \(i\) dalla relazione

\[i_{1 / m}=i(1 / m)=\frac {1}{m} \cdot i\]

Per esempio il tasso quadrimestrale ( 3 volte in un anno) \(i_{1 / 3}\) equivalente al tasso annuo \(i=6 \%\) è \(i_{1 / 3}=i / 3=0,02 = 21\%\)

1.1.2 Legge degli interessi composti.

Indichiamo con \(i_{1 / m}\) il tasso periodale, \(m\) rappresenta il numero di frazioni in un anno e \(i\) il tasso annuale, allora i due tassi sono equivalenti se vale la seguente relazione:

\[1+i=\left (1+i_{1 / m}\right )^{m} \]

da cui si ricavano le relazioni tra i tassi:

\[i_{1 / m}=(1+i)^{1 / m}-1 \]

\[i=\left (1+i_{1 / m}\right )^{m}-1 \]

1.1.3 Esempi

La ricerca dei tassi periodali è utile per confrontare operazioni finanziarie espresse su scale temporali differenti.

Partendo dal tasso annuo \(i=15 \%\) trovare i corrispondenti tassi: semestrale,quadrimestrale, trimestrale e mensile

\[\mathrm {i}_{\frac {1}{2}}=(1+0,15)^{1 / 2}-1=0,07238\]

\[\mathrm {i}_{\frac {1}{3}}=(1+0,15)^{1 / 3}-1=0,04769\]

\[\mathrm {i}_{\frac {1}{4}}=(1+0,15)^{1 / 4}-1=0,03556\]

\[\mathrm {i}_{\frac {1}{12}}=(1+0,15)^{1 / 12}-1=0,01172\]

1.2 Il tasso nominale d’interesse

Prendiamo in considerazione il regime finanziario dell’interesse composto

\[r(t)=(1+i)^{t}\]

e valutiamo la situazione in cui investiamo un capitale \(C\), ma l’interesse via via prodotto è corrisposto con una prefissata periodicità, ad esempio \(m\) volte in un anno. L’interesse maturato è staccato e messo a disposizione dell’investitore. All’inizio di ogni m-esimo di anno il capitale a frutto ammonta esattamente a \(C\) e alla fine di ogni m-esimo di anno l’interesse maturato è

\[I=C i_{1 / m}\]

Su ogni unità di capitale investita l’investitore si trova ad aver riscosso \(m\) rate di ammontare \(i_{1 / m}\), ciascuna pagata al termine di \(1 / m\) di anno.

Quello che abbiamo definito è detto tasso nominale convertibile \(m\) volte in un anno e indicato con \(J(m)\).

\[ J(m)=m i_{1 / m} \]

\[ i_{1 / m}=(1+i)^{1 / m}-1 \]

\[ J(m)=m \left [(1+i)^{1 / m}-1\right ] \]

Risultano utili le seguenti formule inverse:

\[i_{1 / m}=\frac {J(m)}{m} \]

\[ i=\left (1+\frac {J(m)}{m}\right )^{m}-1\]

1.3 Il tasso istantaneo

Al crescere di \(m\), aumentando il numero delle rate corrisposte in un anno, si abbrevia l’intervallo tra una rata e l’altra, anticipando il pagamento delle rate, si paga nominalmente di meno.

Se consideriamo il tasso nominale d’interesse \(J(m)\) e facciamo tendere \(m\) all’infinito, otteniamo:

\[\lim _{m \rightarrow +\infty } J(m)=\lim _{m \rightarrow +\infty } m \left [(1+i)^{1 / m}-1\right ]=\]

\[=\delta =\log (1+i)\]

Il valore \(\delta \) è noto come tasso istantaneo o tasso nominale annuo d’interesse convertibile infinite volte in un anno. La retta \(y=\delta \) è un asintoto orizzontale della funzione \(J(m)\). Al tendere di \(m\) all’infinito le rate si trasformano in un flusso continuo e uniforme durante tutto l’anno per un ammontare nominale pari a \(\delta \).

\(\lim _{m \rightarrow +\infty } J(m)=\lim _{m \rightarrow +\infty } m \left [(1+i)^{1 / m}-1\right ]=\lim _{m \rightarrow +\infty } \frac {(1+i)^{1 / m}-1}{\frac {1}{m}}=\frac {0}{0}\)

Teorema di De L’Hospital:

\[ \lim _{m \rightarrow +\infty } \frac {(1+i)^{1 / m} \cdot \log (1+i) \cdot \frac {-1}{m^{2}}}{\frac {-1}{m^{2}}}=1 \cdot \log (1+i) \]

\[\Rightarrow \lim _{m \rightarrow +\infty } J(m)=\log (1+i) \]

1.4 La legge esponenziale

Se gli interessi formatisi istantaneamente venissero staccati e reinvestiti al tasso effettivo \(i\) (regime finanziario dell’interesse composto) per tutto il resto dell’anno, il montante percepito alla fine sarebbe esattamente pari a \(i\).

Esistono alcune relazioni notevoli basate sul tasso \(\delta \).

\[ e^{\delta }=e^{\log (1+i)} \rightarrow e^{\delta }=1+i \]

\[ i=e^{\delta }-1 \]

\[ e^{\delta \cdot t}=(1+i)^{t}=r(t)\]

Come si può notare \((1+i)^{t}\) è la legge di capitalizzazione dell’interesse composto. Mediante I’utilizzo dei tassi istantanei le formule fondamentali della legge degli interessi composti possono riscriversi:

\[r(t)=e^{\delta t} \]

\[v(t)=e^{-\delta t}\]

\[M=C \cdot e^{\delta \cdot t}\]

\[C=M \cdot e^{-\delta \cdot t} \]

Il regime dell’interesse composto è detto anche della capitalizzazione esponenziale o legge esponenziale.

1.5 Forza d’interesse (intensità istantanea d’interesse)

Consideriamo la generica legge di produzione del montante ad una variabile \(r(t)\).

Assegnato un capitale \(C\), l’interesse che risulta prodotto in un periodo infinitesimale di tempo, tra \(t\) e \(t+\Delta t\) è dato dalla differenza fra i montanti calcolati nei due periodi:

\[\Delta t>0 \quad M(t)=C \cdot r(t) \]

\[M(t+\Delta t)=C \cdot r(t+\Delta t)\]

la differenza è l’interesse \(\Delta M(t)=M(t+\Delta t)-M(t)\) prodotto nel periodo infinitesimo \(\Delta t\)

\[\Delta M(t) =M(t+\Delta t)-M(t) \]

\[\Delta M(t) =C \cdot (r(t+\Delta t)-r(t)) \]

\[\Delta M(t) =M \cdot \frac {r(t+\Delta t)-r(t)}{r(t)}\]

Ricordando che:

\[C=\frac {M}{r(t)}\]

Se la funzione \(r(t)\) è derivabile in \(t\), il suo incremento può approssimarsi con il differenziale calcolato nello stesso punto, otteniamo quindi:

\[\Delta M(t) \simeq M \cdot \frac {r^{\prime }(t)}{r(t)} d t\]

\[\Delta M(t)=M(t) \cdot \delta (t) \cdot d t \]

Abbiamo posto

\[\delta (t)=\frac {r^{\prime }(t)}{r(t)}=\frac {d}{d t} \log r(t)\]

Possiamo concludere dicendo che se il differenziale di \(r(t)\) può sostituirsi al suo incremento effettivo, l’interesse prodotto nell’intervallo di tempo \(\Delta t\) è direttamente proporzionale all’ammontare della somma accumulata all’inizio dell’intervallo, \(M(t)\), e alla lunghezza dell’intervallo \(dt\).

Definiamo \(\delta (t)\) l’interesse prodotto durante un periodo di tempo infinitesimale \((t, t+d t)\) da un capitale pari a 1 in \(t\). La quantità \(\delta (t)\) prende il nome di forza d’ interesse o intensità istantanea d’interesse.

Avremo perciò per un capitale unitario:

\[I(t, t+d t) \simeq \delta (t) \cdot d t \]

Possiamo affermare che la forza d’interesse rappresenta un fattore di proporzionalità nella produzione del montante.

Abbiamo stabilito che la forza d’interesse è la derivata logaritmica della legge di capitalizzazione:

se \(\delta (t)=\frac {r^{\prime }(t)}{r(t)}=\frac {d}{d t} \log r(t)\) allora \(\int _{0}^{t} \delta (s) d s=[\log r(s)]_{0}^{t}=\log r(t)\)

Usando gli esponenziali:

\[e^{\log r(t)}=e^{\int _{0}^{t} \delta (s) d s} \rightarrow r(t)=e^{\int _{0}^{t} \delta (s) d s} \]

Abbiamo visto che data la forza d’interesse possiamo risalire alla legge di capitalizzazione.

Vediamo ora la forza d’interesse nei principali regimi finanziari.

\(r(t) = 1+i t \) Interesse semplice \(\delta (t)=\frac {i}{1+i \cdot t}\)

\(r(t) = \frac {1}{1-d \cdot t} \) Sconto commerciale \( \delta (t)=\frac {d}{1-d \cdot t}\)

\(r(t)= (1+i)^{t}\) Interesse composto \(\delta (t)=\log (1+i)\)

Notiamo che nell’interesse semplice la forza d’interesse è una funzione decrescente, nella capitalizzazione iperbolica una funzione crescente, mentre nella legge dell’ interesse composto la forza d’interesse è una costante.

1.5.1 Esempio 1

Sapendo che la forza d’interesse vigente sul mercato è \(\delta (t)=0,055 \frac {2 t}{1+t^{2}} \quad \) dedurne il fattore di capitalizzazione.

La legge di capitalizzazione è

\[ r(t)=e^{\int _{0}^{t} \delta (s) d s} \]

Osserviamo che nel calcolo dell’integrale, abbiamo indicato con \(s\) la variabile di integrazione in modo da non creare confusione con l’epoca finale \(t\).

Calcoliamo preliminarmente l’integrale della forza d’interesse:

\[ \int _{0}^{t} \delta (s) d s=\int _{0}^{t} 0,055 \frac {2 s}{1+s^{2}} d s=0,055 \cdot \int _{0}^{t} \frac {2 s}{1+s^{2}} d s= \]

\[ \quad =0,055 \cdot \left [\log \left |1+s^{2}\right |\right ]_{0}^{t}=0,055 \cdot \left (\log \left (1+t^{2}\right )-\log 1\right )= \]

\[ \quad =\log \left (1+t^{2}\right )^{0,055} \]

\[ r(t)=e^{\int _{0}^{t} \delta (s) d s}=e^{\log \left (1+t^{2}\right )^{0,055}}=\left (1+t^{2}\right )^{0,055} \]

1.5.2 Esempio 2

Data la forza d’interesse \(\delta (\mathrm {t})=i /(t+1)\), calcolare il montante di 100 dopo tre periodi se il tasso di rendimento è il \(5 \%\).

Calcoliamo prima l’integrale che ci permette di risalire alla legge di capitalizzazione e quindi il montante.

\(\int _{0}^{t} \frac {i}{1+s} d s=i \cdot \int _{0}^{t} \frac {1}{1+s} d s=i \cdot [\log |s+1|]_{0}^{t}=i \cdot (\log (t+1)-\log 1)=i \cdot \log (t+1)\)

\[ r(t)=e^{i \cdot \log (t+1)} \]

\[ M(t)=C \cdot r(t)=100 \cdot e^{i \cdot \log (t+1)}=100 \cdot e^{0,05 \cdot \log 4}=107,177 \]