Insiemi

Indice

1 Insiemi

Normalmente indicheremo gli insiemi con lettere latine maiuscole A, B, C…. La scrittura \[a\in A\] sta ad indicare che a è un elemento dell’insieme A e si legge “a appartiene ad A”. La negazione si scrive \[ a \notin A\] che si legge “a non appartiene ad A”. Due insiemi si dicono uguali se e soltanto se hanno esattamente gli stessi elementi.

Questo si può scrivere, usando il simbolo \(\forall \) (“per ogni”), \[A=B , \Leftrightarrow (\forall a\in A \Leftrightarrow a \in B)\]

dove la doppia freccia si legge “se e soltanto se”.

È conveniente introdurre uno speciale insieme, detto insieme vuoto e indicato con \(\emptyset \) privo di elementi.

Per assegnare elementi ad un insieme si usano generalmente due metodi. 1. Rappresentazione estensiva: consiste nell’elencare tutti gli elementi dell’insieme, per esempio \[E = \{0,1,2,3,4\}\] 2. Rappresentazione intensiva: consiste nell’assegnare gli elementi indicando una proprietà, caratteristica, che li contraddistingue, per esempio \[A = \{ x \text { tale che } x \text { è un numero naturale pari}\}\]

La seconda possibilità è soprattutto indicata per insiemi che contengano infiniti elementi e in particolare per sottoinsiemi di altri insiemi. Anche gli insiemi con una numero infinito di elementi possono essere descritti per elencazione se questo non crea equivoci. Per esempio, si può scrivere \[A = \{ 1,2,3,4, . . .\}\] per indicare l’insieme di tutti i numeri interi.

Dati due insiemi \(A\) e \(B\), se ogni elemento di \(A\) è anche elemento di \(B\), diremo che \(A\) è un sottoinsieme di \(B\), o che è contenuto in \(B\), e scriveremo

\[A \subseteq B\]

Si può osservare che per ogni insieme \(A\) si ha \(A \subseteq A\), cioè ogni insieme è contenuto in se stesso. Per indicare che \(A \subseteq B\), ma che esiste qualche elemento di \(B\) che non è contenuto in \(A\) diremo che A è sottoinsieme proprio di B e scriveremo

\[A \subset B \]

Notiamo che l’insieme vuoto è sottoinsieme di tutti gli insiemi \(\emptyset \subseteq \) \(A, \forall A\). Come esiste l’insieme vuoto possono essere d’interesse anche sottoinsiemi costituiti da un solo elemento: se \(a \in A\), allora \(\{a\} \subseteq A\). Va notata la differenza che c’è tra i due simboli \(\in \) e \(\subset \) (o \(\subseteq \) ): il primo mette in relazione oggetti diversi (elementi e insiemi), il secondo mette in relazione oggetti dello stesso tipo (insiemi).

Dato un insieme \(A\) si definisce insieme delle parti e si indica con \(\mathscr {P}(A)\) l’insieme di tutti i suoi sottoinsiemi . Per esempio, se \(A=\{a, b, c\}\), allora

\[\mathscr {P}(A)=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\} A\} .\]

2 Operazioni tra insiemi

Dati due insiemi A e B, si chiama loro unione, e si indica con \(A \cup B\), l’insieme formato dagli elementi che appartengono ad \(A\) o a \(B\).

\[A \cup B = \{x \text { tale che } x \in A \vee x \in B\} .\]

Esempio. Se \(A=\{0,1,3,5\}\) e \(B=\{2,3,4\}\), allora \(A \cup B=\{0,1,2,3,4,5\}\).

Dati due insiemi A e B, si chiama loro intersezione, e si indica con \(A \cap B\), l’insieme formato dagli elementi che appartengono contemporaneamente ad \(A\) e a \(B\).

\[ A \cap B =\{x \text { tale che } x \in A \wedge x \in B\} .\]

Se \(A\) e \(B\) sono come nell’esempio precedente, allora \(A \cap B=\{3\}\).

Due insiemi la cui intersezione sia vuota si dicono disgiunti. L’insieme vuoto è sempre disgiunto da ogni altro insieme.

Le operazioni di unione e intersezione sono ovviamente associative e dunque si potrà scrivere l’unione o intersezione di più insiemi senza usare alcuna parentesi:

\[ (A \cup B) \cup C=A \cup (B \cup C)=A \cup B \cup C, \quad (A \cap B) \cap C=A \cap (B \cap C)=A \cap B \cap C . \]

Le seguenti sono alcune proprietà di uso comune dell’unione e dell’intersezione e si possono verificare per utile esercizio.

\[A \cup A=A ; A \cap A=A ;\] \[A \cup B=B \cup A ; A \cap B=B \cap A ; \] \[A \cup \emptyset =A ; A \cap \emptyset =\emptyset ; \] \[A \cup B \supseteq A ; A \cap B \subseteq A ; \] \[A \cup B=A \Leftrightarrow B \subseteq A ; A \cap B=A \Leftrightarrow A \subseteq B .\]

Valgono anche le proprietà distributive di un’operazione rispetto all’altra:

\[ A \cup (B \cap C)=(A \cup B) \cap (A \cup C) \quad , \quad A \cap (B \cup C)=(A \cap B) \cup (A \cap C) . \]

Si noti che le proprietà distributive sono due: dell’unione rispetto all’intersezione e dell’intersezione rispetto all’unione. Nel caso della somma e prodotto tra numeri vale solo la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: \(a(b+c)=a b+a c\).

Dati due insiemi \(A\) e B, si chiama loro differenza, e si indica con \(A \backslash B\), o anche con \(A-B\), l’insieme formato dagli elementi che appartengono ad \(A\) ma non a \(B\). La differenza di due insiemi può essere espressa attraverso la rappresentazione per caratteristica in questo modo: \[ A \backslash B =\{x \text { tale che } x \in A \wedge x \notin B\} \]

Esempio. Se \(A\) e \(B\) sono come nell’esempio già considerato per l’unione, allora \(A \backslash B=\{0,1\}\).

Nel caso che \(B \subseteq A\), l’insieme \(A \backslash B\) si chiama anche complementare di \(B\) rispetto ad \(A\) e si indica con \(\complement _{A} B\), o semplicemente con \(\complement B\) se l’insieme \(A\) è precisato una volta per tutte. In molte situazioni conviene fissare un insieme, detto universo. In questo caso quando si parla di complementare si intende sempre il complementare rispetto all’universo.

Assumiamo anche un altro concetto primitivo, che utilizzeremo continuamente, e precisamente quello di coppia ordinata, che indicheremo con \((x, y)\), dove è importante il posto occupato dagli elementi \(x\) e \(y\) :

\[ (x, y)=\left (x_{1}, y_{1}\right ) \Leftrightarrow x=x_{1} \wedge y=y_{1} . \]

Conviene osservare esplicitamente che, in generale, mentre per gli insiemi l’ordine degli elementi non è importante e quindi \[\{a, b\}=\{b, a\} \] per le coppie ordinate vale: \[(a, b) \neq (b, a) \]

Dati due insiemi A e B si chiama loro prodotto cartesiano, o semplicemente prodotto, l’insieme, indicato con \(A \times B\), delle coppie ordinate il cui primo elemento appartiene ad \(A\) e il secondo a \(B\) :

\[ A \times B = \{(a, b) \text { tale che } (a \in A) \wedge (b \in B)\} . \]

Dalla definizione segue che \(A \times B \neq B \times A\). Nel caso particolare che \(A=B\) si scrive anche \(A^{2}\) in luogo di \(A \times A\).

Si possono considerare anche prodotti cartesiani di più di due insiemi (attenzione all’ordine!) e, nel caso del prodotto cartesiano di un insieme per se stesso \(n\) volte si scriverà \(A^{n}\) in luogo di \(A \times A \times \cdots \times A\)

3 Insiemi numerici

Come ci si può aspettare, un ruolo particolarmente rilevante nello studio della matematica lo hanno gli insiemi di numeri.

3.1 Numeri naturali: \(\mathbb {N}\)

Il primo insieme numero che introduciamo è l’insieme dei numeri naturale che, d’ora in avanti, indicheremo con \(\mathbb {N}\). L’insieme \(\mathbb {N}\) ha come elementi tutti in numeri interi e possiamo darne la seguente rappresentazione

\[\mathbb {N}=\{0,1,2, \ldots , n, \ldots \} .\]

L’insieme dei numeri naturali ha un minimo elemento (lo 0) e non ha un massimo elemento.

All’interno dei numeri naturali possiamo definire due operazioni ”chiuse”: l’addizione ed il prodotto. Per operazione chiusa si intende che comunque si prendono due elementi dell’insieme anche il risultato dell’operazione, nel nostro caso loro prodotto o la loro somma, è un elemento dell’insieme. Scriveremo quindi \[\forall a,b \in \mathbb {N}: a+b\in \mathbb {N}; ab\in \mathbb {N} \] Sottrazione e divisione, invece, non sono operazioni chiuse per l’insieme dei numeri naturali.

Le operazioni somma e prodotto verificano le seguenti proprietà: proprietà commutativa \[m+n=n+m \,\,\,\,\,\,\, mn=nm \,\,\,\,\,\, \forall m, n \in N \] proprietà associativa \[m + (n+p) = (m+n)+p \,\,\,\,\,\,\, m(np)=(mn)p \,\,\,\,\,\,\, \forall m, n, p \in N \] proprietà distributiva \[m(n+p) = mp+np \,\,\,\,\,\,\, \forall m, n, p \in N \]

Da notare che l’insieme \(\mathbb {N}\) è ordinato: \[\forall n\in \mathbb {N} \text { con } n\geq 1 \text {allora esistono } n-1 \,\,\, e \,\,\, n+1 \in \mathbb {N}\] Vale la legge di tricotomia: dati \(m,n \in \mathbb {N}\), allora una sola delle seguenti relazioni è vera: \(m>n,\,\,\, m=n,\,\,\, m<n\)

3.2 Interi relativi: \(\mathbb {Z}\)

Come detto in precedenza, l’insieme dei numeri naturali \(\mathbb {N}\) non è chiuso rispetto alla sottrazione. Sarà quindi necessario introdurre un’altro insieme per poter eseguire questa semplice operazioni su tutti gli elementi dell’insieme. Per superare questo ostacolo si introduce l’insieme dei numeri interi relativi \(\mathbb {Z}\) definito in questo modo:

\[\mathbb {Z}=\{\ldots ,-2,-1,0,1,2, \ldots \}.\]

l’insieme \(\mathbb {Z}\) è quindi chiuso rispetto a: addizione, sottrazione, moltiplicazione.

Come \(\mathbb {N}\), anche \(\mathbb {Z}\) è ordinato; inoltre: \(\forall m \in \mathbb {Z} \quad \) esiste \((m-1)\) e \((m+1)\) ma non esiste un ”primo” elemento.

Chiaramente \( \mathbb {N} \subset \mathbb {Z}\).

3.3 Numeri razionali: \(\mathbb {Q}\)

\(\mathbb {Q}\) è l’insieme dei numeri razionali, ovvero delle frazioni con numeratore e denominatore interi, e denominatore diverso da zero. Per essere precisi, occorre tenere conto che due frazioni che, ridotte ai minimi termini, sono uguali, rappresentano lo stesso numero. Si può anche pensare di attribuire il segno solo al numeratore, ritenendo che il denominatore sia un numero naturale (diverso da zero):

\[ \mathbb {Q}=\{m / n \text { tale che } m \in \mathbb {Z}, n \in \mathbb {N}, n \neq 0\} . \]

I numeri razionali si possono anche scrivere come numeri decimali, finiti o periodici. Una delle novità sostanziali dell’insieme dei razionali rispetto a quello degli interi è il fatto che non si può più parlare di successivo di un numero, anzi, tra due razionali qualsiasi esiste sempre (almeno) un altro razionale (e quindi infiniti), infatti:

\[ \text { se } a=\frac {m}{n} \text { e } b=\frac {p}{q} \text {, allora il numero } c=\frac {a+b}{2} \text { è razionale ed è compreso tra } a \text { e } b \text {. }\]

Chiaramente \( \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q}\).

L’insieme dei numeri razionali è chiuso rispetto alle 4 operazioni, possiamo quindi permetterci di moltiplicare, sommare, sottrarre e dividere tra loro numeri razionali (unica condizione sarà non dividere per zero) ed il risultato sarà sempre un numero razionale. Si potrebbe pensare che non sia necessario introdurre insiemi ancora più grandi. Basta un semplice esempio per comprendere che questo non è corretto. Supponiamo di voler calcolare la diagonale \(d\) di un quadrato di lato 1. Dal teorema di Pitagora sappiamo che questa è data dalla radice quadrata della somma dei lati al quadrato. Nel nostro caso quindi: \(d = \sqrt {1^2+1^2} = \sqrt {2}\). Ebbene, la \(\sqrt {2}\) non è un numero razionale, quindi, la semplice operazione di calcolo della diagonale di un quadrato non è possibile se ci limitiamo a considerare i ”soli” numeri razionali. I numeri come \(\sqrt {2}\), che non possono essere espressi come rapporto di due numeri interi, vengono detti numeri ”irrazionali”.

Inoltre, i numeri irrazionali possiedono una rappresentazione infinita non periodica. Rientrano in due categorie: 1) Irrazionali di tipo algebrico che sono soluzioni di equazioni algebriche di grado finito a coefficienti interi come \( \sqrt {2}, \sqrt {3}, etc. \). 2) Irrazionali trascendenti come \(\pi , e\).

3.4 Numeri reali: \(\mathbb {R}\)

L’insieme dei numeri reali \(\mathbb {R}\) si ottiene ampliando l’insieme dei numeri razionali con i numeri irrazionali. A partire dall’insieme dei naturali, questi insiemi numerici, nell’ordine in cui sono stati presentati, sono via via sempre più grandi, nel senso che

\[\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}.\]

Sull’insieme dei numeri reali possiamo effettuare tutte le operazioni. Notiamo che L’equazione: \(x^2+1=0\) non possiede soluzioni nell’insieme dei numeri reali. L’insieme dei numeri reali può essere a sua volta esteso con l’introduzione dei numeri complessi che però non tratteremo.

4 Proprietà degli insiemi

Diremo che \(A\) è un insieme limitato inferiormente se \(\exists \alpha \in \mathbb {R}\) (minorante) tale che: \[\alpha \leq x \,\,\, \forall x\in A \].

Diremo che \(A\) è un insieme limitato superiormente se \(\exists \beta \in \mathbb {R}\) (maggiorante) tale che: \[x \leq \beta \,\,\, \forall x\in A \].

A è LIMITATO se limitato inferiormente e superiormente.

Avendo definito insiemi limitati e quindi numeri detti minoranti \(\alpha \) numeri detti maggioranti \(\beta \) di conseguenza possiamo definire insiemi formati da questi numeri. Vediamo come:

\[ \text { insieme dei minoranti } I_1=\{\alpha \in \mathbb {R }\text { tale che } \alpha \leq x \,\,\, \forall x\in A\} . \] \[ \text { insieme dei miaggioranti } I_2=\{\beta \in \mathbb {R }\text { tale che } x \leq \beta \,\,\, \forall x\in A\} . \]

Inoltre, definiamo estremo inferiore di A (\(\inf A\)) il più grande elemento dell’insieme \(I_1\) ed estremo superiore di A (\(\sup A\)) il più piccolo elemento dell’insieme \(I_2\). Estremo inferiore ed stremo superiore si chiamano minimo e massimo, rispettivamente, se appartengono all’insieme \(A\).

Se \(A\) è illimitato inferiormente diremo che l’estremo inferiore di \(A\) è \(-\infty \), analogamente se \(A\) è illimitato superiormente diremo che l’estremo superiore di \(A\) è \(+\infty \).

5 Intervalli di numeri reali

Alcuni sottoinsiemi dell’insieme dei numeri reali sono particolarmente importanti nell’analisi. Ne consideriamo la definizione e le proprietà in questo paragrafo.

Dati due numeri reali a e b, con \(a<b\), si chiamano intervalli, con la specificazione a fianco segnata, \(i\) seguenti sottoinsiemi di \(\mathbb {R}\).

\[ (a, a) = \emptyset \text { intervallo vuoto }\] \[(a, b) \{x\in \mathbb {R} \text { tale che } a<x<b\} \text { intervallo limitato aperto }\] \[[a, b] \{x\in \mathbb {R} \text { tale che } a \leq x \leq b\} \text { intervallo limitato chiuso }\] \[[a, b) \{x\in \mathbb {R} \text { tale che } a \leq x<b\} \text { intervallo limitato chiuso a sinistra } e \text { aperto a destra }\] \[(a, b] \{x\in \mathbb {R} \text { tale che } a<x \leq b\} \text { intervallo limitato aperto a sinistra } e \text { chiuso a destra } \] \[(a,+\infty ) \{x\in \mathbb {R} \text { tale che } x>a\} \text { intervallo superiormente illimitato aperto }\] \[[a,+\infty ) \{x\in \mathbb {R} \text { tale che } x \geq a\} \text { intervallo superiormente illimitato chiuso } \] \[(-\infty , a) \{x\in \mathbb {R} \text { tale che } x<a\} \text { intervallo inferiormente illimitato aperto } \] \[(-\infty , a] \{x\in \mathbb {R} \text { tale che } x \leq a\} \text { intervallo inferiormente illimitato chiuso }\]

I numeri reali a e b, oppure soltanto a o soltanto b, si chiamano estremi dell’intervallo. Gli intervalli limitati si chiamano anche segmenti, quelli illimitati anche semirette.

In sostanza gli intervalli sono caratterizzati dalla proprietà che, se contengono due numeri reali, contengono tutti i numeri compresi tra quei due.

Anche per l’intero insieme \(\mathbb {R}\) si usa la scrittura (\(-\infty ,+\infty \)) e questo intervallo si dice semplicemente illimitato.

Per gli intervalli limitati, al punto

\[ x_{0}=\frac {a+b}{2} \]

si dà il nome di centro e al numero

\[ \delta =b-x_{0}=x_{0}-a \]

si dà il nome di raggio o semiampiezza. L’intervallo (aperto) di centro \(x_{0}\) e raggio \(\delta \) è allora

\[ (x_{0}-\delta , x_{0}+\delta ) \] e si chiama anche intorno del punto \(x_0\). Ogni punto di un intervallo che non coincida con gli (eventuali) estremi si dice interno all’intervallo.

5.1 Insiemi limitati e illimitati di numeri reali

Sia \(A \subseteq \mathbb {R}\), un numero reale \(x\) si dice maggiorante di \(A\) se

\[ x \geq a, \forall a \in A . \]

Un numero reale y si dice minorante di A se

\[ y \leq a, \forall a \in A . \]

Esempi.

• Sia \(A=(-2,8]\). Allora \(-5,-\pi ,-2\) sono minoranti; \(8,10, \sqrt {89}\) sono maggioranti.
• Sia \(A=\mathbb {N}\). Allora non esistono maggioranti, mentre tutti i numeri reali minori o uguali a zero sono minoranti.
• Sia \(A=\mathbb {Z}\). Allora non esistono né maggioranti, né minoranti.

Sia \(A \subseteq \mathbb {R}\), diremo che A è limitato superiormente (o anche limitato a destra) se ha almeno un maggiorante, limitato inferiormente (o anche limitato a sinistra) se ha almeno un minorante. Un insieme limitato sia superiormente che inferiormente si dice limitato. Un insieme che non sia limitato superiormente o inferiormente si dice illimitato superiormente o illimitato inferiormente. Un insieme illimitato sia superiormente che inferiormente si dice illimitato.

Esempi.

• \(\mathbb {N}\) è limitato inferiormente, ma non superiormente.
• \(\mathbb {Z}\) non è limitato né inferiormente né superiormente.
• \(A=(2,6)\) è limitato (sia superiormente che inferiormente).

Sia \(A \subseteq \mathbb {R}\) un insieme superiormente limitato. Allora il più piccolo dei maggioranti di \(A\) si chiama estremo superiore di \(A\) e si indica con \(\sup (A)\). Sia \(A \subseteq \mathbb {R}\) un insieme inferiormente limitato. Allora il più grande dei minoranti di A si chiama estremo inferiore di A \(e\) si indica con \(\inf (A)\).

Se A è superiormente illimitato si pone, per definizione, \(\sup (A)=+\infty ;\) se A è inferiormente illimitato si pone, per definizione, \(\inf (A)=-\infty \).

Possiamo quindi dire che ogni insieme di numeri reali ha sempre un estremo superiore (eventualmente \(+\infty \) ) e un estremo inferiore (eventualmente \(-\infty \) ). Per distinguere gli insiemi limitati dagli illimitati, per i primi parleremo di estremo superiore, oppure inferiore, finiti.

Sia \(A \subseteq \mathbb {R}\), un numero \(M \in A\) si dice il massimo di \(A\) se \(M \geq a, \forall a \in A\); un numero \(m\) si dice il minimo di \(A\) se \(m \leq a, \forall a \in A\).

Si noti che se esiste il massimo di un insieme questo è unico; analogamente per il minimo. A differenza del \(\sup (A)\) e del \(\inf (A)\), massimo e minimo, per definizione, devono appartenere all’insieme.

Esempi

• Se \(A=[0,1], 1\) è il massimo, mentre 0 è il minimo di \(A\).
• Se \(A=(0,1), A\) non ha né massimo né minimo (infatti, in questo caso, 0 e 1 non appartengono all’insieme A).
• Se \(A=(0,1], 1=\max (A)\), mentre \(A\) non ha minimo.
• \(+\infty =\sup (\mathbb {N}), 0=\inf (\mathbb {N})=\min (\mathbb {N})\).
• \(+\infty =\sup (\mathbb {Z}),-\infty =\inf (\mathbb {Z})\).
• \(-1=\sup ((0,1)), 0=\inf ((0,1))\).
• \(-1=\sup ([0,1])=\max ([0,1]), 0=\inf ([0,1])=\min ([0,1])\).

Come mostrano gli esempi, e come è facile mostrare, se un insieme ha massimo, il massimo è anche estremo superiore, se un insieme ha minimo, il minimo è anche estremo inferiore. Ovviamente non vale il viceversa.

Dato un punto \(P\in \mathbb {R} \) diremo intorno di centro \(P\) e raggio \(\delta \) e indicheremo con \(I_\delta (P)\) l’insieme di tutti i numeri \(x\) che hanno da \(P\) distanza minore di \(\delta \).

Dato un insieme A, un punto \(P\) si dice interno ad \(A\) se esiste almeno un intorno di \(P\) tutto contenuto in \(A\). E ovvio che un punto interno appartiene sempre all’insieme.

Dato un insieme \(A\), un punto \(P\) si dice esterno ad \(A\) se esso è interno al complementare di \(A\), cioè se esiste almeno un intorno di \(P\) tutto contenuto nel complementare di A. Ė ovvio che un punto esterno non può appartenere all’insieme.

Dato un insieme \(A\), un punto \(P\) di \(A\) si dice isolato in \(A\) se esiste un intorno \(I_\delta (P)\) di \(P\) tale che \(I_\delta (P) \cap A=\{P\}\), cioè se esiste un intorno di \(P\) nel quale \(P\) è l’unico punto di \(A\). Ė ovvio che un punto isolato appartiene sempre all’insieme.

Dato un insieme \(A\), un punto \(P\) si dice di frontiera per A se per ogni intorno \(I_\delta (P)\) di \(P\) si ha \(I_\delta (P) \cap A \neq \emptyset \) e contemporaneamente \(I_\delta (P) \cap A^c \neq \emptyset \), cioè se in ogni intorno di \(P\) cade almeno un punto di \(A\) e un punto fuori da \(A\). Un punto di frontiera può appartenere oppure no all’insieme.

Dato un insieme A, un punto \(P\) si dice di accumulazione per \(A\) se in ogni intorno \(I_\delta (P)\) di \(P\) cadono infiniti punti di A, cioè se l’insieme \(I_\delta (P) \cap A\) contiene infiniti punti. Un punto di accumulazione può appartenere oppure no all’insieme.

Esempi In tutti questi esempi l’insieme \(A\) è così definito: \(A=[0,2)\cup \{5\}\).

• 1 è un punto interno, perché esiste almeno un intorno, per esempio \(I_{0.5}(1)=(0.5,1.5)\), tutto contenuto in \(A\). L’insieme di tutti i punti interni è \(( 0,2)\).
• 7 è un punto esterno, perché, per esempio, l’intorno \(I_1(7)=(6,8)\) è tutto contenuto nel complementare di A. L’insieme di tutti i punti esterni è \((-\infty ,0) \cup (2,5)\cup [5,+\infty )\).
• 5 è un punto isolato, anzi è l’unico punto isolato, perché, per esempio, l’intorno \(I_1(5)=(4,6)\), se intersecato con \(A\), dà solo il punto 5 stesso.
• 0 è un punto di frontiera perché qualunque intorno di 0 contiene punti alla sua sinistra (che non stanno in \(A\) ) e punti alla sua destra (e quelli immediatamente a destra di 0 stanno in A). Anche 2 è un punto di frontiera, per motivi simili. Si noti che 0 appartiene ad \(A\), mentre 2 non appartiene ad \(A\). Anche 5 è un punto di frontiera perché in ogni intorno di 5 cade un punto di \(A\) (5 stesso!) e punti del complementare di \(A\) (quelli immediatamente a sinistra e a destra di 5). \(0,2,5\) sono gli unici punti di frontiera.
• 1 è un punto di accumulazione, perché l’intorno \(I_{0.5}(1)=(0.5,1.5)\) contiene infiniti punti di \(A\) (anzi è costituito solo da punti di \(A\) ). Tutti i punti interni ad \(A\) sono punti di accumulazione. Anche 2 è punto di accumulazione, perché qualunque suo intorno contiene infiniti punti di \(A\) (quelli immediatamente a sinistra di 2 stesso). L’insieme di tutti i punti di accumulazione è \([0,2]\). 5 non è punto di accumulazione in quanto esistono intorni di 5 che contengono un solo punto di a (il 5 stesso).

Si noti che essere interno non è la stesso cosa di appartenere, essere esterno non è la stessa cosa di non appartenere. Valgono alcune proprietà:

• Un punto interno è sempre di accumulazione;
• un punto interno non può essere né isolato né di frontiera;
• un punto isolato è sempre di frontiera;
• un punto isolato non può essere di accumulazione, anzi, in un certo senso punto isolato è il contrario di punto di accumulazione.

Un insieme A si dice chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione. Un insieme A si dice aperto se il suo complementare è chiuso.