Indice
1.1 Investimento
1.1.1 Esempio
1.2 Attualizzazione (anticipazione)
1.3 Relazioni tra le grandezze finanziarie fondamentali
2 Principali regimi finanziari
2.1 Interesse semplice
2.1.1 Esempio
2.2 lo sconto commerciale
2.3 Interesse composto
2.4 Confronto fra i principali regimi finanziari
2.5 operazioni finanziarie
La matematica finanziaria si occupa di o «operazioni finanziarie», ossia di contratti che, in sostanza, riguardano lo scambio di somme di denaro o di capitali, come si preferisce dire, disponibili in epoche diverse.
La matematica finanziaria in senso stretto tratta le operazioni certe, ossia le operazioni che si effettuano indipendentemente dal verificarsi o dal non verificarsi di eventi aleatori, cioè di quegli eventi in tutto o in parte imprevedibili.
Sono invece oggetto della matematica attuariale tutte quelle operazioni nelle quali i capitali, o l’epoca della loro riscossione, dipendono da fenomeni aleatori. Ad esempio, sono oggetto di studio della matematica attuariale i contratti di assicurazione sulla vita, i contratti di assicurazione contro i furti o gli incendi, la gestione dei fondi pensione, ecc…
1 Operazioni finanziarie elementari
1.1 Investimento
Consideriamo la seguente operazione finanziaria: un soggetto investe
La differenza tra il montante prodotto all’epoca y ed il capitale iniziale, è il frutto dell’investimento e si denomina interesse, lo indicheremo con la lettera I.
Il montante dell’operazione a scadenza è pari alla somma tra capitale investito e interesse
Il rapporto tra l’interesse generato ed il capitale impiegato è il tasso d’interesse dell’operazione; rappresenta l’interesse prodotto su una unità di capitale investito. È un numero adimensionale
Il rapporto tra il montante e il capitale iniziale si indica con
Il montante è proporzionale al capitale iniziale, il fattore di proporzionalità è rappresentato dal fattore di capitalizzazione.
Se riferiamo tutto a una unità di capitale iniziale otteniamo:
Abbiamo così dimostrato che il fattore di capitalizzazione è il montante prodotto da una unità di capitale iniziale
1.1.1 Esempio
Il signor A (investitore) ha dato in prestito il capitale di 1.000 al signor B il quale si è impegnato a restituire dopo un anno al signor A il capitale ricevuto in prestito ed un interesse di 75.
In altre parole si può dire che la somma
Il tasso di interesse di questa operazione finanziaria semplice è
Nella pratica i tassi sono espressi in percentuale, per cui moltiplicando per 100 si ottiene un tasso d’interesse del
1.2 Attualizzazione (anticipazione)
Consideriamo la situazione simmetrica alla precedente, un’operazione di finanziamento in cui un soggetto riceve oggi (epoca
In questo contesto la quantità
La differenza tra il capitale M disponibile a scadenza (
Il valore attuale eguaglia la differenza tra il capitale a scadenza e lo sconto
Il rapporto tra lo sconto ed il capitale a scadenza è indicato con
Il rapporto tra il capitale iniziale e il capitale a scadenza si indica con
La relazione appena descritta
Se riferiamo tutto a una unità di capitale a scadenza otteniamo:
Il fattore di attualizzazione è il valore oggi di 1 euro disponibile in futuro.
Se il risultato finale dipende solo dalla durata dell’operazione finanziaria, ovvero il periodo intercorso da
Inoltre si fa notare che I e D sono due facce della stessa medaglia
1.3 Relazioni tra le grandezze finanziarie fondamentali
Le operazioni descritte stabiliscono una relazione tra somme disponibili ad epoche diverse. Considerando un investimento che impiega
Arriviamo quindi a stabilire una relazione di equivalenza tra due somme relative ad istanti diversi.
Se
Di conseguenza:
Dalle definizioni fornite, con passaggi algebrici elementari si ricavano le relazioni tra le grandezze finanziarie fondamentali che vengono qui riepilogate.
2 Principali regimi finanziari
2.1 Interesse semplice
In questo regime finanziario l’interesse prodotto è direttamente proporzionale al tempo.
Per l’operazione di investimento (capitalizzazione) abbiamo:
Per ricavare le grandezze inerenti le operazioni di attualizzazione (anticipazione), ci basiamo sempre sulla regola che l’interesse prodotto è proporzionale al tempo.
Nel regime finanziario dell’interesse semplice, l’interesse ed il montante hanno un andamento lineare rispetto al tempo, i grafici delle funzioni
L’elemento caratterizzante la legge (o regime) degli interessi semplici è che l’interesse
2.1.1 Esempio
Calcolare interesse e montante prodotti da un capitale di 1.000 euro, impiegati al tasso (annuo) e per il periodo indicati: al 3,75% per un anno; al 7% per 15 mesi.
2.2 lo sconto commerciale
Nel regime finanziario dello sconto commerciale è lo sconto ad essere proporzionale al tempo, la regola è perciò:
Utilizzando le notazioni consuete abbiamo:
Tenendo conto della regola
Lo sconto commerciale presenta un limite di applicabilità:
2.3 Interesse composto
È il regime finanziario considerato fondamentale, rende gli interessi fruttiferi nello stesso istante che si producono, l’interesse si cumula sul capitale e forma altro interesse. Come già sappiamo l’unità di capitale investita produce nell’unità di tempo un montante pari a
Se l’investimento prosegue alle stesse condizioni, il montante al termine del secondo periodo sarà uguale a quello al termine del primo, capitalizzato a sua volta mediante lo stesso fattore
Considerando genericamente
Le grandezze che ricaviamo sono:
Capitalizzazione
Attualizzazione
2.4 Confronto fra i principali regimi finanziari
Indichiamo con:
il montante prodotto nel regime finanziario dell’interesse semplice; il montante prodotto nel regime finanziario dell’interesse composto; il montante prodotto nel regime finanziario dello sconto commerciale.
Se confrontiamo i fattori di capitalizzazione dei tre regimi possiamo notare che se il periodo d’investimento è inferiore all’anno è più conveniente investire nel regime finanziario dell’interesse semplice, mentre per periodi superiori all’anno a parità di tempo, il fattore di capitalizzazione è superiore nel regime finanziario dello sconto commerciale. In
Riepilogando, abbiamo che:
2.5 operazioni finanziarie
Si definisce operazione finanziaria un insieme di incassi e pagamenti caratterizzati dalle rispettive date di esigibilità. Convenzionalmente si usa la notazione vettoriale: un’operazione finanziaria si rappresenta mediante una coppia di vettori ad
Per semplicità chiameremo pagamenti anche gli incassi, differenziandoli dai pagamenti veri e propri usando il segno algebrico opposto.
Si può inoltre definire la somma di due operazioni finanziarie
Ad esempio sommando