Operazioni e regimi finanziari

Indice

La matematica finanziaria si occupa di o «operazioni finanziarie», ossia di contratti che, in sostanza, riguardano lo scambio di somme di denaro o di capitali, come si preferisce dire, disponibili in epoche diverse.

La matematica finanziaria in senso stretto tratta le operazioni certe, ossia le operazioni che si effettuano indipendentemente dal verificarsi o dal non verificarsi di eventi aleatori, cioè di quegli eventi in tutto o in parte imprevedibili.

Sono invece oggetto della matematica attuariale tutte quelle operazioni nelle quali i capitali, o l’epoca della loro riscossione, dipendono da fenomeni aleatori. Ad esempio, sono oggetto di studio della matematica attuariale i contratti di assicurazione sulla vita, i contratti di assicurazione contro i furti o gli incendi, la gestione dei fondi pensione, ecc…

1 Operazioni finanziarie elementari

1.1 Investimento

Consideriamo la seguente operazione finanziaria: un soggetto investe \(C\) all’epoca \(x\) per avere \(M\) all’epoca \(y\); \(M>C\). \(C\) è il capitale iniziale, \(M\) è il capitale finale detto montante.

La differenza tra il montante prodotto all’epoca y ed il capitale iniziale, è il frutto dell’investimento e si denomina interesse, lo indicheremo con la lettera I.

\[I = M – C \]

Il montante dell’operazione a scadenza è pari alla somma tra capitale investito e interesse \( M = C + I\)

Il rapporto tra l’interesse generato ed il capitale impiegato è il tasso d’interesse dell’operazione; rappresenta l’interesse prodotto su una unità di capitale investito. È un numero adimensionale \(i=\frac{I}{C}\)

Il rapporto tra il montante e il capitale iniziale si indica con \(r(x, y)\), è denominato fattore di capitalizzazione.

\[r(x, y)=\frac{M}{C}\]

\[M=C r(x, y)\]

Il montante è proporzionale al capitale iniziale, il fattore di proporzionalità è rappresentato dal fattore di capitalizzazione.

Se riferiamo tutto a una unità di capitale iniziale otteniamo:

\[M=C+I \]

\[\frac{M}{C}=1+\frac{I}{C}\]

\[r(x, y)=1+i(x, y)\]

Abbiamo così dimostrato che il fattore di capitalizzazione è il montante prodotto da una unità di capitale iniziale

1.1.1 Esempio

Il signor A (investitore) ha dato in prestito il capitale di 1.000 al signor B il quale si è impegnato a restituire dopo un anno al signor A il capitale ricevuto in prestito ed un interesse di 75.

In altre parole si può dire che la somma \(C=1.000\) dopo un anno diventa \(M=C+I=1.075\).

Il tasso di interesse di questa operazione finanziaria semplice è \(i=I/C=0,075\).

Nella pratica i tassi sono espressi in percentuale, per cui moltiplicando per 100 si ottiene un tasso d’interesse del \(7,5\%\).

1.2 Attualizzazione (anticipazione)

Consideriamo la situazione simmetrica alla precedente, un’operazione di finanziamento in cui un soggetto riceve oggi (epoca \(x\) ) \(C\) a fronte del pagamento \(M\) in un’epoca futura \((y)\). L’individuo rinuncia ad una parte di capitale che gli è dovuto in futuro pur di entrarne in possesso anticipatamente; si tratta di quantificare il valore oggi di un importo disponibile in futuro.

In questo contesto la quantità \(C\) si chiama valore attuale.

\[C<M\]

La differenza tra il capitale M disponibile a scadenza ( \(y\) ) ed il capitale iniziale C è lo sconto, che indicheremo con D.

Il valore attuale eguaglia la differenza tra il capitale a scadenza e lo sconto

\[D=M-C\]

Il rapporto tra lo sconto ed il capitale a scadenza è indicato con \(d\) e rappresenta il tasso di sconto relativo all’operazione considerata. È un numero adimensionale.

\[d=\frac{D}{M}\]

Il rapporto tra il capitale iniziale e il capitale a scadenza si indica con \(v(x, y)\), è denominato fattore di attualizzazione.

\[v(x, y)=\frac{C}{M}\]

\[C=M v(x, y)\]

La relazione appena descritta \(C=M v(x, y)\) corrisponde ad un’operazione di sconto che si svolge tra il periodo \(x\) (di disponibilità del valore attuale) e il periodo \(y\) (di disponibilità del capitale a scadenza).

Se riferiamo tutto a una unità di capitale a scadenza otteniamo:

\[C=M-D \]

\[\frac{C}{M}=1-\frac{D}{M}\]

\[ v(x, y)=1-d(x, y)\]

Il fattore di attualizzazione è il valore oggi di 1 euro disponibile in futuro.

Se il risultato finale dipende solo dalla durata dell’operazione finanziaria, ovvero il periodo intercorso da \(x\) a \(y\), poniamo \({t}={y}-{x}\). Riepilogando:

\[M=C r(t) \]

\[C=M v(t) \]

\[ I=C i(t)\]

\[D=M d(t) \]

Inoltre si fa notare che I e D sono due facce della stessa medaglia

\[I=D\]

1.3 Relazioni tra le grandezze finanziarie fondamentali

Le operazioni descritte stabiliscono una relazione tra somme disponibili ad epoche diverse. Considerando un investimento che impiega \(C\) euro oggi e permette di avere un montante \(M\) ad esempio fra 2 anni, da un certo punto di vista possiamo affermare che avere \(C\) oggi equivale ad avere \(M\) tra due anni, ancora, \(C\) può essere considerato il valore attuale di \(M\).

Arriviamo quindi a stabilire una relazione di equivalenza tra due somme relative ad istanti diversi.

Se \(M\) è il montante di \(C\) e \(C\) il valore attuale di \(M\), possiamo considerare accanto al fattore di capitalizzazione, il fattore di anticipazione.

Di conseguenza:

\[r(t)=\frac{M}{C}=\frac{1}{v(t)} \]

\[v(t)=\frac{C}{M}=\frac{1}{r(t)}\]

Dalle definizioni fornite, con passaggi algebrici elementari si ricavano le relazioni tra le grandezze finanziarie fondamentali che vengono qui riepilogate.

\[r=\frac{1}{v}=1+i=\frac{1}{1-d} \]

\[ i=r-1=\frac{d}{1-d}=\frac{1-v}{v} \]

\[ d=\frac{i}{1+i}=\frac{r-1}{r}=1-v \]

\[ v=\frac{1}{r}=\frac{1}{1+i}=1-d\]

2 Principali regimi finanziari

2.1 Interesse semplice

In questo regime finanziario l’interesse prodotto è direttamente proporzionale al tempo.

Per l’operazione di investimento (capitalizzazione) abbiamo:

\[i(t)=i t \]

\[r(t)=1+i(t)=1+i t \]

\[I(t)=C i(t)=C i t \]

\[M(t)=C r(t)=C (1+i t)\]

Per ricavare le grandezze inerenti le operazioni di attualizzazione (anticipazione), ci basiamo sempre sulla regola che l’interesse prodotto è proporzionale al tempo.

\[ v(t)=\frac{1}{r(t)}=\frac{1}{1+i t} \]

\[d(t)=1-\frac{1}{r(t)}=1-\frac{1}{1+i t} \]

\[=\frac{i t}{1+i t}\]

Nel regime finanziario dell’interesse semplice, l’interesse ed il montante hanno un andamento lineare rispetto al tempo, i grafici delle funzioni \({I}={I}({t})\) e \({M}={M}({t})\) risultano essere due semirette.

L’elemento caratterizzante la legge (o regime) degli interessi semplici è che l’interesse \(I\) non entra a fare parte del capitale: l’importo \(I\) è sempre calcolato sul capitale iniziale \(C\).

2.1.1 Esempio

Calcolare interesse e montante prodotti da un capitale di 1.000 euro, impiegati al tasso (annuo) e per il periodo indicati: al 3,75% per un anno; al 7% per 15 mesi.

\[i=3,75 \% ; C=1.000 ; t=1\]

\[I=C i t=1.000 0,0375 1=37,5\]

\[M=I+C=1.037,5\]

\[M=C (1+i t)=1.000 (1+0,0375 1)=1.037,5\]

\[i=7 \% ; \,\,\,\,\,\,\,\,\, C=1.000 ; \,\,\,\,\,\,\,\,\, t=15 / 12\]

\[I=1.000 0,07 (15 / 12)=87,5\]

\[M=C+I=1.087,5\]

2.2 lo sconto commerciale

Nel regime finanziario dello sconto commerciale è lo sconto ad essere proporzionale al tempo, la regola è perciò:

\[d(t)=d t\]

\[v(t)=1-d(t)=1-d t \]

\[D(t) =M d(t)=M d t\]

Utilizzando le notazioni consuete abbiamo:

\[ C(t)=M v(t)=M (1-d t) \]

Tenendo conto della regola \({d}({t})={d} {t}\) ricaviamo le altre grandezze.

\[r(t)=\frac{1}{v(t)}=\frac{1}{1-d t}\]

\[ i(t)=\frac{d(t)}{1-d(t)}=\frac{d t}{1-d t}=\frac {\left (\frac{i}{1+i}\right ) t}{1-\left (\frac{i}{1+i}\right ) t}\]

\[ =\frac{i t}{1-(t-1) i}\]

Lo sconto commerciale presenta un limite di applicabilità: \(t<1 / d\). Infatti per \(t>1 /d\) il regime perde di significato. L’andamento del fattore di capitalizzazione è un’iperbole che presenta un asintoto in corrispondenza di \(t=1 / d\). Si parla di incoerenza finanziaria per \(t>1 / d\) : lo sconto supererebbe il capitale a scadenza e il fattore di attualizzazione diventerebbe negativo. Questo regime finanziario è detto anche capitalizzazione iperbolica.

2.3 Interesse composto

È il regime finanziario considerato fondamentale, rende gli interessi fruttiferi nello stesso istante che si producono, l’interesse si cumula sul capitale e forma altro interesse. Come già sappiamo l’unità di capitale investita produce nell’unità di tempo un montante pari a \(1 + i\).

\[r(1)=1+i\]

Se l’investimento prosegue alle stesse condizioni, il montante al termine del secondo periodo sarà uguale a quello al termine del primo, capitalizzato a sua volta mediante lo stesso fattore

\[r(2)=r(1) \cdot (1+i)=(1+i)^{2}\]

Considerando genericamente \(t\) periodi, la regola su cui si basa questo regime finanziario è

\[r(t)=(1+i)^{t}\]

Le grandezze che ricaviamo sono:

Capitalizzazione \[r(t)=(1+i)^{t} \]

\[M(t)=C r(t) \]

\[=C (1+i)^{t} \]

\[i(t)=r(t)-1=(1+i)^{t}-1\]

Attualizzazione \[v(t)=\frac{1}{(1+i)^{t}}=(1+i)^{-t} \]

\[ C=M \cdot v(t)=M \cdot \frac{1}{(1+i)^{t}} \]

\[ d(t)=1-v(t)=1-\frac {1}{(1+i)^{t}} =\frac{(1+i)^{t}-1}{(1+i)^{t}}\]

2.4 Confronto fra i principali regimi finanziari

Indichiamo con:

• \(M_{I S}\) il montante prodotto nel regime finanziario dell’interesse semplice;
• \(M_{IC}\) il montante prodotto nel regime finanziario dell’interesse composto;
• \(M_{SC}\) il montante prodotto nel regime finanziario dello sconto commerciale.

Se confrontiamo i fattori di capitalizzazione dei tre regimi possiamo notare che se il periodo d’investimento è inferiore all’anno è più conveniente investire nel regime finanziario dell’interesse semplice, mentre per periodi superiori all’anno a parità di tempo, il fattore di capitalizzazione è superiore nel regime finanziario dello sconto commerciale. In \(t=1\), i fattori di capitalizzazione sono tutti uguali, infatti per tutti e tre i regimi \(r(1)=1+i\), e le tre curve si intersecano in \(t=1\).

Riepilogando, abbiamo che:

\[\text { per } 0<t<1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, M_{I S}>M_{I C}>M_{S C} \]

\[\text { per } t>1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, M_{S C}>M_{I C}>M_{I S} \]

\[\text { per } t=1 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, M_{S C}=M_{I C}=M_{I S} \]

2.5 operazioni finanziarie

Si definisce operazione finanziaria un insieme di incassi e pagamenti caratterizzati dalle rispettive date di esigibilità. Convenzionalmente si usa la notazione vettoriale: un’operazione finanziaria si rappresenta mediante una coppia di vettori ad \(n\) componenti reali \(\mathbf {x} / \mathbf {t}\) dove \(\mathbf {x}=\left \{\mathrm {x}_{0}, \ldots , \mathrm {x}_{\mathrm {n}}\right \}\) rappresenta il vettore dei pagamenti (e/o incassi); e \(\mathbf {t}=\left \{\mathrm {t}_{0}, \ldots , \mathrm {t}_{\mathrm {n}}\right \}\) rappresenta le scadenze, ordinate in senso crescente.

Per semplicità chiameremo pagamenti anche gli incassi, differenziandoli dai pagamenti veri e propri usando il segno algebrico opposto.

Si può inoltre definire la somma di due operazioni finanziarie \(\mathbf {x}^{\prime } / \mathbf {t}^{\prime }\) e \(\mathbf {x}^{\prime \prime } / \mathbf {t}^{\prime \prime }\) come quella operazione finanziaria \(\mathbf {x} / \mathbf {t}\) ottenuta con lo scadenzario unione \(\mathrm {t}=\mathrm {t}^{\prime } \mathrm {U} \mathrm {t}^{\prime \prime }\) e sommando algebricamente i pagamenti che cadono alle stesse date.

Ad esempio sommando \(\mathbf {x}^{\prime } / \mathbf {t}^{\prime }=\{-95,100\} /\{0,1\}\) con \(\mathbf {x}^{\prime \prime } / \mathbf {t}^{\prime \prime }=\{100,-3,-103\} /\{0,1 / 2,1\}\) si ottiene \(\mathbf {x} / \mathbf {t}=\{5,-3,-3\} /\{0,1 / 2,1\}\).