Operazioni e regimi finanziari

Indice

La matematica finanziaria si occupa di o «operazioni finanziarie», ossia di contratti che, in sostanza, riguardano lo scambio di somme di denaro o di capitali, come si preferisce dire, disponibili in epoche diverse.

La matematica finanziaria in senso stretto tratta le operazioni certe, ossia le operazioni che si effettuano indipendentemente dal verificarsi o dal non verificarsi di eventi aleatori, cioè di quegli eventi in tutto o in parte imprevedibili.

Sono invece oggetto della matematica attuariale tutte quelle operazioni nelle quali i capitali, o l’epoca della loro riscossione, dipendono da fenomeni aleatori. Ad esempio, sono oggetto di studio della matematica attuariale i contratti di assicurazione sulla vita, i contratti di assicurazione contro i furti o gli incendi, la gestione dei fondi pensione, ecc…

1 Operazioni finanziarie elementari

1.1 Investimento

Consideriamo la seguente operazione finanziaria: un soggetto investe C all’epoca x per avere M all’epoca y; M>C. C è il capitale iniziale, M è il capitale finale detto montante.

La differenza tra il montante prodotto all’epoca y ed il capitale iniziale, è il frutto dell’investimento e si denomina interesse, lo indicheremo con la lettera I.

I=MC

Il montante dell’operazione a scadenza è pari alla somma tra capitale investito e interesse M=C+I

Il rapporto tra l’interesse generato ed il capitale impiegato è il tasso d’interesse dell’operazione; rappresenta l’interesse prodotto su una unità di capitale investito. È un numero adimensionale i=IC

Il rapporto tra il montante e il capitale iniziale si indica con r(x,y), è denominato fattore di capitalizzazione.

r(x,y)=MC

M=Cr(x,y)

Il montante è proporzionale al capitale iniziale, il fattore di proporzionalità è rappresentato dal fattore di capitalizzazione.

Se riferiamo tutto a una unità di capitale iniziale otteniamo:

M=C+I

MC=1+IC

r(x,y)=1+i(x,y)

Abbiamo così dimostrato che il fattore di capitalizzazione è il montante prodotto da una unità di capitale iniziale

1.1.1 Esempio

Il signor A (investitore) ha dato in prestito il capitale di 1.000 al signor B il quale si è impegnato a restituire dopo un anno al signor A il capitale ricevuto in prestito ed un interesse di 75.

In altre parole si può dire che la somma C=1.000 dopo un anno diventa M=C+I=1.075.

Il tasso di interesse di questa operazione finanziaria semplice è i=I/C=0,075.

Nella pratica i tassi sono espressi in percentuale, per cui moltiplicando per 100 si ottiene un tasso d’interesse del 7,5%.

1.2 Attualizzazione (anticipazione)

Consideriamo la situazione simmetrica alla precedente, un’operazione di finanziamento in cui un soggetto riceve oggi (epoca x ) C a fronte del pagamento M in un’epoca futura (y). L’individuo rinuncia ad una parte di capitale che gli è dovuto in futuro pur di entrarne in possesso anticipatamente; si tratta di quantificare il valore oggi di un importo disponibile in futuro.

In questo contesto la quantità C si chiama valore attuale.

C<M

La differenza tra il capitale M disponibile a scadenza ( y ) ed il capitale iniziale C è lo sconto, che indicheremo con D.

Il valore attuale eguaglia la differenza tra il capitale a scadenza e lo sconto

D=MC

Il rapporto tra lo sconto ed il capitale a scadenza è indicato con d e rappresenta il tasso di sconto relativo all’operazione considerata. È un numero adimensionale.

d=DM

Il rapporto tra il capitale iniziale e il capitale a scadenza si indica con v(x,y), è denominato fattore di attualizzazione.

v(x,y)=CM

C=Mv(x,y)

La relazione appena descritta C=Mv(x,y) corrisponde ad un’operazione di sconto che si svolge tra il periodo x (di disponibilità del valore attuale) e il periodo y (di disponibilità del capitale a scadenza).

Se riferiamo tutto a una unità di capitale a scadenza otteniamo:

C=MD

CM=1DM

v(x,y)=1d(x,y)

Il fattore di attualizzazione è il valore oggi di 1 euro disponibile in futuro.

Se il risultato finale dipende solo dalla durata dell’operazione finanziaria, ovvero il periodo intercorso da x a y, poniamo t=yx. Riepilogando:

M=Cr(t)

C=Mv(t)

I=Ci(t)

D=Md(t)

Inoltre si fa notare che I e D sono due facce della stessa medaglia

I=D

1.3 Relazioni tra le grandezze finanziarie fondamentali

Le operazioni descritte stabiliscono una relazione tra somme disponibili ad epoche diverse. Considerando un investimento che impiega C euro oggi e permette di avere un montante M ad esempio fra 2 anni, da un certo punto di vista possiamo affermare che avere C oggi equivale ad avere M tra due anni, ancora, C può essere considerato il valore attuale di M.

Arriviamo quindi a stabilire una relazione di equivalenza tra due somme relative ad istanti diversi.

Se M è il montante di C e C il valore attuale di M, possiamo considerare accanto al fattore di capitalizzazione, il fattore di anticipazione.

Di conseguenza:

r(t)=MC=1v(t)

v(t)=CM=1r(t)

Dalle definizioni fornite, con passaggi algebrici elementari si ricavano le relazioni tra le grandezze finanziarie fondamentali che vengono qui riepilogate.

r=1v=1+i=11d

i=r1=d1d=1vv

d=i1+i=r1r=1v

v=1r=11+i=1d

2 Principali regimi finanziari

2.1 Interesse semplice

In questo regime finanziario l’interesse prodotto è direttamente proporzionale al tempo.

Per l’operazione di investimento (capitalizzazione) abbiamo:

i(t)=it

r(t)=1+i(t)=1+it

I(t)=Ci(t)=Cit

M(t)=Cr(t)=C(1+it)

Per ricavare le grandezze inerenti le operazioni di attualizzazione (anticipazione), ci basiamo sempre sulla regola che l’interesse prodotto è proporzionale al tempo.

v(t)=1r(t)=11+it

d(t)=11r(t)=111+it

=it1+it

Nel regime finanziario dell’interesse semplice, l’interesse ed il montante hanno un andamento lineare rispetto al tempo, i grafici delle funzioni I=I(t) e M=M(t) risultano essere due semirette.

L’elemento caratterizzante la legge (o regime) degli interessi semplici è che l’interesse I non entra a fare parte del capitale: l’importo I è sempre calcolato sul capitale iniziale C.

2.1.1 Esempio

Calcolare interesse e montante prodotti da un capitale di 1.000 euro, impiegati al tasso (annuo) e per il periodo indicati: al 3,75% per un anno; al 7% per 15 mesi.

i=3,75%;C=1.000;t=1

I=Cit=1.0000,03751=37,5

M=I+C=1.037,5

M=C(1+it)=1.000(1+0,03751)=1.037,5

i=7%;C=1.000;t=15/12

I=1.0000,07(15/12)=87,5

M=C+I=1.087,5

2.2 lo sconto commerciale

Nel regime finanziario dello sconto commerciale è lo sconto ad essere proporzionale al tempo, la regola è perciò:

d(t)=dt

v(t)=1d(t)=1dt

D(t)=Md(t)=Mdt

Utilizzando le notazioni consuete abbiamo:

C(t)=Mv(t)=M(1dt)

Tenendo conto della regola d(t)=dt ricaviamo le altre grandezze.

r(t)=1v(t)=11dt

i(t)=d(t)1d(t)=dt1dt=(i1+i)t1(i1+i)t

=it1(t1)i

Lo sconto commerciale presenta un limite di applicabilità: t<1/d. Infatti per t>1/d il regime perde di significato. L’andamento del fattore di capitalizzazione è un’iperbole che presenta un asintoto in corrispondenza di t=1/d. Si parla di incoerenza finanziaria per t>1/d : lo sconto supererebbe il capitale a scadenza e il fattore di attualizzazione diventerebbe negativo. Questo regime finanziario è detto anche capitalizzazione iperbolica.

2.3 Interesse composto

È il regime finanziario considerato fondamentale, rende gli interessi fruttiferi nello stesso istante che si producono, l’interesse si cumula sul capitale e forma altro interesse. Come già sappiamo l’unità di capitale investita produce nell’unità di tempo un montante pari a 1+i.

r(1)=1+i

Se l’investimento prosegue alle stesse condizioni, il montante al termine del secondo periodo sarà uguale a quello al termine del primo, capitalizzato a sua volta mediante lo stesso fattore

r(2)=r(1)(1+i)=(1+i)2

Considerando genericamente t periodi, la regola su cui si basa questo regime finanziario è

r(t)=(1+i)t

Le grandezze che ricaviamo sono:

Capitalizzazione r(t)=(1+i)t

M(t)=Cr(t)

=C(1+i)t

i(t)=r(t)1=(1+i)t1

Attualizzazione v(t)=1(1+i)t=(1+i)t

C=Mv(t)=M1(1+i)t

d(t)=1v(t)=11(1+i)t=(1+i)t1(1+i)t

2.4 Confronto fra i principali regimi finanziari

Indichiamo con:

  • MIS il montante prodotto nel regime finanziario dell’interesse semplice;
  • MIC il montante prodotto nel regime finanziario dell’interesse composto;
  • MSC il montante prodotto nel regime finanziario dello sconto commerciale.

Se confrontiamo i fattori di capitalizzazione dei tre regimi possiamo notare che se il periodo d’investimento è inferiore all’anno è più conveniente investire nel regime finanziario dell’interesse semplice, mentre per periodi superiori all’anno a parità di tempo, il fattore di capitalizzazione è superiore nel regime finanziario dello sconto commerciale. In t=1, i fattori di capitalizzazione sono tutti uguali, infatti per tutti e tre i regimi r(1)=1+i, e le tre curve si intersecano in t=1.

Riepilogando, abbiamo che:

 per 0<t<1MIS>MIC>MSC

 per t>1MSC>MIC>MIS

 per t=1MSC=MIC=MIS

2.5 operazioni finanziarie

Si definisce operazione finanziaria un insieme di incassi e pagamenti caratterizzati dalle rispettive date di esigibilità. Convenzionalmente si usa la notazione vettoriale: un’operazione finanziaria si rappresenta mediante una coppia di vettori ad n componenti reali x/t dove x={x0,,xn} rappresenta il vettore dei pagamenti (e/o incassi); e t={t0,,tn} rappresenta le scadenze, ordinate in senso crescente.

Per semplicità chiameremo pagamenti anche gli incassi, differenziandoli dai pagamenti veri e propri usando il segno algebrico opposto.

Si può inoltre definire la somma di due operazioni finanziarie x/t e x/t come quella operazione finanziaria x/t ottenuta con lo scadenzario unione t=tUt e sommando algebricamente i pagamenti che cadono alle stesse date.

Ad esempio sommando x/t={95,100}/{0,1} con x/t={100,3,103}/{0,1/2,1} si ottiene x/t={5,3,3}/{0,1/2,1}.

Creative Commons License
Except where otherwise noted, the content on this site is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.