Operazioni e regimi finanziari

Indice

La matematica finanziaria si occupa di o «operazioni finanziarie», ossia di contratti che, in sostanza, riguardano lo scambio di somme di denaro o di capitali, come si preferisce dire, disponibili in epoche diverse.

La matematica finanziaria in senso stretto tratta le operazioni certe, ossia le operazioni che si effettuano indipendentemente dal verificarsi o dal non verificarsi di eventi aleatori, cioè di quegli eventi in tutto o in parte imprevedibili.

Sono invece oggetto della matematica attuariale tutte quelle operazioni nelle quali i capitali, o l’epoca della loro riscossione, dipendono da fenomeni aleatori. Ad esempio, sono oggetto di studio della matematica attuariale i contratti di assicurazione sulla vita, i contratti di assicurazione contro i furti o gli incendi, la gestione dei fondi pensione, ecc…

1 Operazioni finanziarie elementari

1.1 Investimento

Consideriamo la seguente operazione finanziaria: un soggetto investe $C$ all’epoca $x$ per avere $M$ all’epoca $y$; $M>C$. $C$ è il capitale iniziale, $M$ è il capitale finale detto montante.

La differenza tra il montante prodotto all’epoca y ed il capitale iniziale, è il frutto dell’investimento e si denomina interesse, lo indicheremo con la lettera I.

$$I=M–C$$

Il montante dell’operazione a scadenza è pari alla somma tra capitale investito e interesse $M=C+I$

Il rapporto tra l’interesse generato ed il capitale impiegato è il tasso d’interesse dell’operazione; rappresenta l’interesse prodotto su una unità di capitale investito. È un numero adimensionale $i=\frac{I}{C}$

Il rapporto tra il montante e il capitale iniziale si indica con $r(x,y)$, è denominato fattore di capitalizzazione.

$$r(x,y)=\frac{M}{C}$$

$$M=Cr(x,y)$$

Il montante è proporzionale al capitale iniziale, il fattore di proporzionalità è rappresentato dal fattore di capitalizzazione.

Se riferiamo tutto a una unità di capitale iniziale otteniamo:

$$M=C+I$$

$$\frac{M}{C}=1+\frac{I}{C}$$

$$r(x,y)=1+i(x,y)$$

Abbiamo così dimostrato che il fattore di capitalizzazione è il montante prodotto da una unità di capitale iniziale

1.1.1 Esempio

Il signor A (investitore) ha dato in prestito il capitale di 1.000 al signor B il quale si è impegnato a restituire dopo un anno al signor A il capitale ricevuto in prestito ed un interesse di 75.

In altre parole si può dire che la somma $C=1.000$ dopo un anno diventa $M=C+I=1.075$.

Il tasso di interesse di questa operazione finanziaria semplice è $i=I/C=0,075$.

Nella pratica i tassi sono espressi in percentuale, per cui moltiplicando per 100 si ottiene un tasso d’interesse del $7,5\mathrm{\%}$.

1.2 Attualizzazione (anticipazione)

Consideriamo la situazione simmetrica alla precedente, un’operazione di finanziamento in cui un soggetto riceve oggi (epoca $x$ ) $C$ a fronte del pagamento $M$ in un’epoca futura $(y)$. L’individuo rinuncia ad una parte di capitale che gli è dovuto in futuro pur di entrarne in possesso anticipatamente; si tratta di quantificare il valore oggi di un importo disponibile in futuro.

In questo contesto la quantità $C$ si chiama valore attuale.

$$C<M$$

La differenza tra il capitale M disponibile a scadenza ( $y$ ) ed il capitale iniziale C è lo sconto, che indicheremo con D.

Il valore attuale eguaglia la differenza tra il capitale a scadenza e lo sconto

$$D=M-C$$

Il rapporto tra lo sconto ed il capitale a scadenza è indicato con $d$ e rappresenta il tasso di sconto relativo all’operazione considerata. È un numero adimensionale.

$$d=\frac{D}{M}$$

Il rapporto tra il capitale iniziale e il capitale a scadenza si indica con $v(x,y)$, è denominato fattore di attualizzazione.

$$v(x,y)=\frac{C}{M}$$

$$C=Mv(x,y)$$

La relazione appena descritta $C=Mv(x,y)$ corrisponde ad un’operazione di sconto che si svolge tra il periodo $x$ (di disponibilità del valore attuale) e il periodo $y$ (di disponibilità del capitale a scadenza).

Se riferiamo tutto a una unità di capitale a scadenza otteniamo:

$$C=M-D$$

$$\frac{C}{M}=1-\frac{D}{M}$$

$$v(x,y)=1-d(x,y)$$

Il fattore di attualizzazione è il valore oggi di 1 euro disponibile in futuro.

Se il risultato finale dipende solo dalla durata dell’operazione finanziaria, ovvero il periodo intercorso da $x$ a $y$, poniamo $t=y-x$. Riepilogando:

$$M=Cr(t)$$

$$C=Mv(t)$$

$$I=Ci(t)$$

$$D=Md(t)$$

Inoltre si fa notare che I e D sono due facce della stessa medaglia

$$I=D$$

1.3 Relazioni tra le grandezze finanziarie fondamentali

Le operazioni descritte stabiliscono una relazione tra somme disponibili ad epoche diverse. Considerando un investimento che impiega $C$ euro oggi e permette di avere un montante $M$ ad esempio fra 2 anni, da un certo punto di vista possiamo affermare che avere $C$ oggi equivale ad avere $M$ tra due anni, ancora, $C$ può essere considerato il valore attuale di $M$.

Arriviamo quindi a stabilire una relazione di equivalenza tra due somme relative ad istanti diversi.

Se $M$ è il montante di $C$ e $C$ il valore attuale di $M$, possiamo considerare accanto al fattore di capitalizzazione, il fattore di anticipazione.

Di conseguenza:

$$r(t)=\frac{M}{C}=\frac{1}{v(t)}$$

$$v(t)=\frac{C}{M}=\frac{1}{r(t)}$$

Dalle definizioni fornite, con passaggi algebrici elementari si ricavano le relazioni tra le grandezze finanziarie fondamentali che vengono qui riepilogate.

$$r=\frac{1}{v}=1+i=\frac{1}{1-d}$$

$$i=r-1=\frac{d}{1-d}=\frac{1-v}{v}$$

$$d=\frac{i}{1+i}=\frac{r-1}{r}=1-v$$

$$v=\frac{1}{r}=\frac{1}{1+i}=1-d$$

2 Principali regimi finanziari

2.1 Interesse semplice

In questo regime finanziario l’interesse prodotto è direttamente proporzionale al tempo.

Per l’operazione di investimento (capitalizzazione) abbiamo:

$$i(t)=it$$

$$r(t)=1+i(t)=1+it$$

$$I(t)=Ci(t)=Cit$$

$$M(t)=Cr(t)=C(1+it)$$

Per ricavare le grandezze inerenti le operazioni di attualizzazione (anticipazione), ci basiamo sempre sulla regola che l’interesse prodotto è proporzionale al tempo.

$$v(t)=\frac{1}{r(t)}=\frac{1}{1+it}$$

$$d(t)=1-\frac{1}{r(t)}=1-\frac{1}{1+it}$$

$$=\frac{it}{1+it}$$

Nel regime finanziario dell’interesse semplice, l’interesse ed il montante hanno un andamento lineare rispetto al tempo, i grafici delle funzioni $I=I(t)$ e $M=M(t)$ risultano essere due semirette.

L’elemento caratterizzante la legge (o regime) degli interessi semplici è che l’interesse $I$ non entra a fare parte del capitale: l’importo $I$ è sempre calcolato sul capitale iniziale $C$.

2.1.1 Esempio

Calcolare interesse e montante prodotti da un capitale di 1.000 euro, impiegati al tasso (annuo) e per il periodo indicati: al 3,75% per un anno; al 7% per 15 mesi.

$$i=3,75\mathrm{\%};C=1.000;t=1$$

$$I=Cit=1.0000,03751=37,5$$

$$M=I+C=1.037,5$$

$$M=C(1+it)=1.000(1+0,03751)=1.037,5$$

$$i=7\mathrm{\%};C=1.000;t=15/12$$

$$I=1.0000,07(15/12)=87,5$$

$$M=C+I=1.087,5$$

2.2 lo sconto commerciale

Nel regime finanziario dello sconto commerciale è lo sconto ad essere proporzionale al tempo, la regola è perciò:

$$d(t)=dt$$

$$v(t)=1-d(t)=1-dt$$

$$D(t)=Md(t)=Mdt$$

Utilizzando le notazioni consuete abbiamo:

$$C(t)=Mv(t)=M(1-dt)$$

Tenendo conto della regola $d(t)=dt$ ricaviamo le altre grandezze.

$$r(t)=\frac{1}{v(t)}=\frac{1}{1-dt}$$

$$i(t)=\frac{d(t)}{1-d(t)}=\frac{dt}{1-dt}=\frac{\left(\frac{i}{1+i}\right)t}{1-\left(\frac{i}{1+i}\right)t}$$

$$=\frac{it}{1-(t-1)i}$$

Lo sconto commerciale presenta un limite di applicabilità: $t<1/d$. Infatti per $t>1/d$ il regime perde di significato. L’andamento del fattore di capitalizzazione è un’iperbole che presenta un asintoto in corrispondenza di $t=1/d$. Si parla di incoerenza finanziaria per $t>1/d$ : lo sconto supererebbe il capitale a scadenza e il fattore di attualizzazione diventerebbe negativo. Questo regime finanziario è detto anche capitalizzazione iperbolica.

2.3 Interesse composto

È il regime finanziario considerato fondamentale, rende gli interessi fruttiferi nello stesso istante che si producono, l’interesse si cumula sul capitale e forma altro interesse. Come già sappiamo l’unità di capitale investita produce nell’unità di tempo un montante pari a $1+i$.

$$r(1)=1+i$$

Se l’investimento prosegue alle stesse condizioni, il montante al termine del secondo periodo sarà uguale a quello al termine del primo, capitalizzato a sua volta mediante lo stesso fattore

$$r(2)=r(1)\cdot (1+i)=(1+i{)}^2$$

Considerando genericamente $t$ periodi, la regola su cui si basa questo regime finanziario è

$$r(t)=(1+i{)}^t$$

Le grandezze che ricaviamo sono:

Capitalizzazione $$r(t)=(1+i{)}^t$$

$$M(t)=Cr(t)$$

$$=C(1+i{)}^t$$

$$i(t)=r(t)-1=(1+i{)}^t-1$$

Attualizzazione $$v(t)=\frac{1}{(1+i{)}^t}=(1+i{)}^{-t}$$

$$C=M\cdot v(t)=M\cdot \frac{1}{(1+i{)}^t}$$

$$d(t)=1-v(t)=1-\frac{1}{(1+i{)}^t}=\frac{(1+i{)}^t-1}{(1+i{)}^t}$$

2.4 Confronto fra i principali regimi finanziari

Indichiamo con:

• $M_{IS}$ il montante prodotto nel regime finanziario dell’interesse semplice;
• $M_{IC}$ il montante prodotto nel regime finanziario dell’interesse composto;
• $M_{SC}$ il montante prodotto nel regime finanziario dello sconto commerciale.

Se confrontiamo i fattori di capitalizzazione dei tre regimi possiamo notare che se il periodo d’investimento è inferiore all’anno è più conveniente investire nel regime finanziario dell’interesse semplice, mentre per periodi superiori all’anno a parità di tempo, il fattore di capitalizzazione è superiore nel regime finanziario dello sconto commerciale. In $t=1$, i fattori di capitalizzazione sono tutti uguali, infatti per tutti e tre i regimi $r(1)=1+i$, e le tre curve si intersecano in $t=1$.

Riepilogando, abbiamo che:

$$\text{ per }0<t<1M_{IS}>M_{IC}>M_{SC}$$

$$\text{ per }t>1M_{SC}>M_{IC}>M_{IS}$$

$$\text{ per }t=1M_{SC}=M_{IC}=M_{IS}$$

2.5 operazioni finanziarie

Si definisce operazione finanziaria un insieme di incassi e pagamenti caratterizzati dalle rispettive date di esigibilità. Convenzionalmente si usa la notazione vettoriale: un’operazione finanziaria si rappresenta mediante una coppia di vettori ad $n$ componenti reali $\mathbf{x}/\mathbf{t}$ dove $\mathbf{x}=\{{\mathrm{x}}_0,\dots ,{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\}$ rappresenta il vettore dei pagamenti (e/o incassi); e $\mathbf{t}=\{{\mathrm{t}}_0,\dots ,{\mathrm{t}}_{\mathrm{n}}\}$ rappresenta le scadenze, ordinate in senso crescente.

Per semplicità chiameremo pagamenti anche gli incassi, differenziandoli dai pagamenti veri e propri usando il segno algebrico opposto.

Si può inoltre definire la somma di due operazioni finanziarie ${\mathbf{x}}^{\prime }/{\mathbf{t}}^{\prime }$ e ${\mathbf{x}}^{\prime \prime }/{\mathbf{t}}^{\prime \prime }$ come quella operazione finanziaria $\mathbf{x}/\mathbf{t}$ ottenuta con lo scadenzario unione $\mathrm{t}={\mathrm{t}}^{\prime }\mathrm{U}{\mathrm{t}}^{\prime \prime }$ e sommando algebricamente i pagamenti che cadono alle stesse date.

Ad esempio sommando ${\mathbf{x}}^{\prime }/{\mathbf{t}}^{\prime }=\{-95,100\}/\{0,1\}$ con ${\mathbf{x}}^{\prime \prime }/{\mathbf{t}}^{\prime \prime }=\{100,-3,-103\}/\{0,1/2,1\}$ si ottiene $\mathbf{x}/\mathbf{t}=\{5,-3,-3\}/\{0,1/2,1\}$.