Piani di Ammortamento

Indice

Il problema generale dell’ammortamento di un prestito riguarda le modalità di rimborso del prestito.

Se un operatore A presta ad un operatore B, una somma S che costituisce l’ammontare del prestito, B si impegna a restituirlo entro n anni secondo tempi di rimborso stabiliti.

Si stabilisce, inoltre, che l’operatore B s’impegni a pagare l’interesse sulla somma ancora dovuta, ad un tasso di remunerazione i.

A può scegliere di restituire il prestito in un’unica soluzione, versando delle rate periodiche o altri metodi.

In questo modulo vedremo le possibili modalità di rimborso, studieremo quindi i diversi piani d’ammortamento.

1 Il piano d’ammortamento

Ad esempio se accendiamo un mutuo, dobbiamo azzerare gradualmente il debito.

Forniamo la simbologia che sarà utilizzata.

\(\mathbf {S}\): Ammontare del prestito

\(C_{1}, C_{2}, \ldots C_{h}, \ldots , C_{n}\) Quote capitale ovvero le frazioni del capitale prestato che m’impegno a restituire.

i: Tasso di remunerazione del prestito

\(\mathbf {I}_{\mathbf {h}}\): Quote interesse, che misurano il costo del prestito anno per anno

Abbiamo visto che \(\mathrm {I}_{\mathrm {h}}\) rappresenta il costo del prestito anno per anno. Infatti, non viene versata solo la quota capitale, ma anche la quota interessi perciò all’epoca \(h\) si pagherà una rata \(\mathrm {R}_{\mathrm {h}}\) pari a

\[ R_{h}=C_{h}+I_{h} \]

Rata dell’ammortamento: ciò che pago nel generico anno.

La quota d’interesse è proporzionale a due elementi:

1.

il tasso d’interesse;

2.

il capitale avuto a disposizione nell’anno, al termine del quale viene pagata la quota interesse.

\[ \begin {aligned} & I_{1}=i \cdot (S) \quad \text { Costo per il primo anno } \\ & I_{2}=i \cdot \left (S-C_{1}\right ) \quad \text { Costo per il secondo anno } \\ & I_{3}=i \cdot \left (S-C_{1}-C_{2}\right ) \text { Così via via per tutti gli anni} \end {aligned} \]

\(D_{h} \quad \) Debito residuo all’epoca \(h\)

Quello che non ho ancora restituito del capitale prestato

Come si calcola il debito residuo?

Visione prospettiva: Guardo al futuro: sommo le quote che non ho ancora restituito \(D_{h}=C_{h+1}+C_{h+2}+\cdots +C_{n}\)

Visione retrospettiva Guardo al passato: sottraggo dal prestito iniziale le quote già pagate

\(D_{h}=S-C_{1}-C_{2}-\cdots -C_{h}\)

Le grandezze appena introdotte si rappresentano mediante delle tabelle; le colonne della tabella riportano i valori dell’anno, dell’ammontare della rata, delle quote capitale ed interesse e del debito residuo:

Si inizia a compilare l’ultima colonna della prima riga col debito iniziale, si prosegue andando a capo e riportando in ogni riga (cioè per ogni \(h\) ) gli elementi della rata e del debito residuo.

2 L’ammortamento francese

Si finisce con l’ultima riga in cui l’ultima colonna deve essere zero, per l’ipotesi di chiusura sull’estinzione del debito al pagamento dell’ultima rata. Tale metodo risulta molto utile sia a livello operativo che per analizzare la dinamica dell’operazione finanziaria in maniera chiara ed esplicita. Ora seguono alcuni esempi particolarmente diffusi e significativi.

I dati a nostra disposizione sono:

1- il debito totale da rimborsare \(S\);

2- il numero delle rate \(n\);

3 – il tasso di valutazione \(i\).

Caratterizzato da una rata costante che è data da \(R=\frac {S}{a_{m i}}\) I dati sono: \(S=100\) euro, \(n=4, i=3 \%\).

I passi da effettuare sono:

• nella prima riga scrivere 100 nell’ultima colonna e zero nelle altre colonne;
• scrivere le 4 rate costanti nella seconda colonna;
• calcolare l’interesse contenuto nella prima rata con la relazione \(\mathrm {I}_{\mathrm {h}}=\mathrm {i} \cdot \mathrm {D}_{\mathrm {h}-1}\) cioè \(\mathrm {I}_{1}=0,03 \cdot 100=3.0000\) e scriverlo alla seconda riga quarta colonna;
• sottrarre l’interesse \(\mathrm {I}_{1}\) così calcolato dalla rata \(R\) per ottenere la quota capitale \(\mathrm {C}_{1}\) da scrivere alla seconda riga terza colonna;

Il calcolo della terza riga è identico a quello della seconda adeguando gli importi. L’ultima riga finisce con l’importo residuo pari a zero, per la condizione di chiusura.

Leggendo le colonne si osserva che:

• I’ultima colonna descrive l’ammortamento del prestito come debito residuo;
• la penultima colonna descrive l’andamento decrescente degli interessi, proprio perché calcolati sul debito residuo che decresce;
• la terzultima colonna descrive l’andamento crescente delle quote capitale, le quali abbattono il debito residuo per il periodo successivo; in questo tipo d’ammortamento esse sono in progressione geometrica di ragione \((1+\mathrm {i})\).

Infatti, per ogni \(h\) :

\[ \begin {aligned} & C_{h+1}=D_{h}-D_{h+1}=\left (D_{h-1}+i \cdot D_{h-1}-R\right )-\left (D_{h}+i \cdot D_{h}-R\right )= \\ & =(1+i) \cdot \left (D_{h-1}-D_{h}\right )=C_{h} \cdot (1+i) \end {aligned} \]

e si può dimostrare che, per ogni \(h\) :

\[ \begin {aligned} & C_{h}=R \cdot v^{n-h+1} \rightarrow \sum _{h=1}^{n} C_{h}=R \cdot \sum _{h=1}^{n} v^{n-h+1}=R \cdot a_{\bar {n} \mid i}=S \\ & I_{h}=R-C_{h}=R \cdot \left (1-v^{n-h+1}\right ) \end {aligned} \]

Quindi per calcolare le quote capitale si può sfruttare questa proprietà.

3 Ammortamento italiano

\(\mathrm {E}^{\prime }\) un caso semplice, vale la regola \(\mathrm {C}_{\mathrm {h}}=\mathrm {S} / \mathrm {n}\); procedendo con \(\mathrm {i}\) dati dell’esempio precedente otteniamo il seguente piano d’ammortamento:

In questo caso calcoliamo prima le quote capitali, quindi il debito residuo per ciascuna epoca in modo da poter riempire la colonna delle quote interessi. Infine si calcolano le rate come somma della quota capitale e la quota interesse:

\[ \mathrm {R}_{1}=\mathrm {C}_{1}+\mathrm {I}_{1}, \ldots , \mathrm {R}_{\mathrm {h}}=\mathrm {C}_{\mathrm {h}}+\mathrm {I}_{\mathrm {h}} \]

4 Piani con preammortamento

Le parti, contrattualmente, possono stabilire un periodo di preammortamento, nel quale vengono corrisposti solo gli interessi a titolo di differimento dell’ammortamento vero e proprio, nel quale normalmente le rate pagano sia interessi che debito. Le rate di preammortamento sono costituite solo dalla quota interessi \(I_{h}=i \cdot S\). Ad esempio, se poniamo un preammortamento di 3 anni nel caso precedente:

a seguire fino al tempo \(h=7\).

5 L’ammortamento a rimborso unico

In questo caso il debito iniziale \(S\) viene restituito alla fine del prestito, e le rate, posticipate, sono costituite dalla sola quota interessi.

Possiamo ricondurre tale caso al precedente, assumendo le rate \(\mathrm {R}_{\mathrm {h}}=\mathrm {i} \cdot \mathrm {S} \quad \mathrm {h}=1, \ldots , \mathrm {n}-1\) quali rate di preammortamento, e l’ultima rata \(\mathrm {R}_{\mathrm {n}}=\mathrm {S}+\mathrm {i} \cdot \mathrm {S}\) quale ammortamento mediante unica rata.

Ad esempio, con \(S=100, i=2,5 \%\) e \(n=4\) :

6 L’ammortamento tedesco

3° caso: ammortamento tedesco (o a interessi anticipati) L’ammortamento tedesco non è un tipo di piano a se stante, può essere applicato a tutti i tipi di piano. Si tratta di un ammortamento che paga gli interessi anticipati, ossia gli interessi sono pagati all’inizio dell’anno (periodo). La prima quota interessi sarà pagata all’epoca 0, mentre la prima quota capitale all’epoca 1. Vediamo un esempio di ammortamento francese con ammortamento tedesco; utilizziamo gli stessi dati numerici dell’esempio precedente. Il calcolo della rata porta a: \(\;\;R\;=\;\cfrac {v\cdot S}{a_{n|i}}\;\) I passi da effettuare sono: • in prima riga scrivere S nell’ultima colonna; nella penultima colonna l’interesse anticipato contenuto nella prima rata, e zero nelle altre colonne; • scrivere le 4 rate costanti nella seconda colonna; • calcolare il debito residuo in 1: \(D_{1}\;=\;\left (D_{0}-R\right )\cdot \left (1+i\right )\) \(\;\;\;\) \(\;\;\;\) \(\;\;\;\) \(\;\;\) e scriverlo alla seconda riga quinta colonna; • calcolare l’interesse I2 della seconda rata applicando il tasso anticipato d a D2 e scrivere il risultato alla seconda riga quarta colonna; • sottrarre I2 dalla rata per ottenere C2 da scrivere alla seconda riga terza colonna. Il calcolo della terza riga è identico a quello della seconda, adeguando gli importi. L’ultima riga finisce con l’importo residuo pari a zero, per la condizione di chiusura, e gli interessi contenuti nell’ultima rata sono pari a zero, dal momento che il debito viene estinto con interessi anticipati. Analizzando brevemente le colonne, osserviamo che l’andamento delle quote è uguale al caso posticipato; ovviamente la rata è inferiore in quanto i pagamenti sono tutti anticipati di un anno, e conseguentemente le quote interessi sono più basse rispetto al caso posticipato. Inoltre la prima rata è diversa dalle altre dato che all’epoca 0 viene pagata solo la quota interesse ma non la quota capitale.

7 Ammortamento Americano

L’ammortamento con quote di accumulazione a due tassi (o americano), detto anche a due tassi, nasce da un metodo di ammortamento alquanto diverso dagli altri poiché coinvolge due operazioni, una di finanziamento e l’altra di investimento. La rata viene così scissa in due parti. La prima destinata a sostenere il costo degli interessi del prestito, il cui debito rimane invariato per tutto il tempo. L’altra indirizzata ad un piano di accumulo retribuito ad un tasso differente, di solito inferiore. L’obiettivo è che al termine dell’operazione le somme capitalizzate nell’ambito dell’investimento, denominate ”fondo di ammortamento”, diano origine ad un importo pari al debito contratto, che potrà così essere estinto. I due tassi stanno ad indicare che di norma ci sono due interessi distinti legati allo svolgimento parallelo delle due operazioni (rimborso globale con interessi periodici e costituzione di un capitale). Un tasso è quello secondo il quale vengono capitalizzate le quote di accumulazione (tasso i’ di accumulazione per l’operazione di costituzione del capitale S) e l’altro è il tasso tecnico di remunerazione secondo il quale si calcolano le quote d’interesse del prestito (tasso i di remunerazione per l’operazione di rimborso prestito). Il debitore paga ogni anno una quota d’interesse (si ipotizza posticipata) pari a:\(I_k = Si \; K=1,2,…,n\) e la quota di accumulazione(costante) pari a: \(Q_{k}\;=\;Q\) \(\;\;\;\) \(\;k=1,2\dots n\) La somma totale delle quote deve ricostituire la somma S. Nota: se i’ = i si ha che la rata di ammortamento periodale calcolata, coincide con quella dell’ammortamento di tipo francese.